Encontre uma solução para a seguinte equação diferencial que passe pelo ponto indicado.
Passo 1
Temos a equação diferencial de primeiro ordem linear
com condição inicial
. O conteúdo é equações diferenciais lineares e vamos usar o método do fator integrante para resolver.
Passo 2
Reescrevemos no formato padrão
. Aqui
e
.
Passo 3
Calculamos o fator integrante
.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
de modo que o lado esquerdo vire a derivada do produto
:
$$
e{-x}\frac{dy}{dx}-e{-x}y=-9e^{-x}
\frac{d}{dx}\bigl(e{-x}y\bigr)=-9e{-x}.$$
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
resultando em
$$
e{-x}y=9e{-x}+C$$.
Passo 6
Isolamos
para obter a solução geral:
$$
y=9+Ce^{x}$$
Passo 7
Usamos a condição inicial
para achar
:
Passo 8
Portanto, a solução particular que passa por
é
$$
y(x)=9-6e^{x}$$
Resposta
y(x)=9-6e^{x}