Encontre uma solução para a seguinte equação diferencial que passe pelo ponto indicado.
d yd x-y=-9
(0,3)

Passo 1

Temos a equação diferencial de primeiro ordem linear dydx-y=-9 com condição inicial y(0)=3. O conteúdo é equações diferenciais lineares e vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Reescrevemos no formato padrão dydx+p(x)y=q(x). Aqui p(x)=-1 e q(x)=-9.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x)=e^integral p(x),dx=e^integral -1,dx.
mu(x)=e^-x

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x) de modo que o lado esquerdo vire a derivada do produto mu(x)y:
$$
e{-x}\frac{dy}{dx}-e{-x}y=-9e^{-x} e^-xdydx-e^-xy=-9e^-xé\frac{d}{dx}\bigl(e{-x}y\bigr)=-9e{-x}.$$

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
integralddx(e^-xy),dx=integral -9e^-x,dx
resultando em
$$
e{-x}y=9e{-x}+C$$.

Passo 6

Isolamos y para obter a solução geral:
$$
y=9+Ce^{x}$$

Passo 7

Usamos a condição inicial y(0)=3 para achar C:
3=9+Ce^0Rightarrow C=3-9=-6

Passo 8

Portanto, a solução particular que passa por (0,3) é
$$
y(x)=9-6e^{x}$$

Resposta

y(x)=9-6e^{x}

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