Encontre uma solução para a seguinte equação diferencial que passe pelo ponto indicado.
x d yd x=y^2-y
(2,2)

Passo 1

A equação dada é xdydx=y^2-y, que é uma equação diferencial separável. Vamos separar variáveis, usar frações parciais para integrar e depois aplicar a condição inicial (2,2).

Passo 2

Primeiro colocamos todos os termos em y de um lado e em x do outro. Dividindo ambos os lados por x e por y(y-1) temos:
dyy(y-1)=dxx

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo usamos frações parciais. Escrevendo
1y(y-1)=-1y+1y-1, temos
integraldyy(y-1)=integrall(-1y+1y-1r)dy=ln|y-1|-ln|y|+C=lnl|y-1yr|+C,

Passo 4

e do lado direito
integraldxx=ln|x|+C' Igualando e absorvendo constantes, obtemos
lnl|y-1yr|=ln|x|+C1Longrightarrowy-1y=C1,x

Passo 5

Isolando y:
1-1y=C1xLongrightarrow1y=1-C1xLongrightarrow y=11-C1x

Passo 6

Para achar C1 usamos y(2)=2:
2=11-2C1Longrightarrow1-2C1=tfrac12Longrightarrow C1=tfrac14

Resposta

y(x)=44-x

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