Encontre uma solução singular para a seguinte equação diferencial:
Passo 1
O enunciado pede uma solução singular para a equação diferencial $\frac{dy}{dx}=-\frac{x,y{4}e{3x}}{y^{2}+2}$. O conteúdo envolve identificar soluções constantes (eventuais soluções singulares) e verificar se elas escapam da família geral.
Passo 2
Para achar soluções constantes, suponha \y(x)=k\ constante. Então \dy/dx=0\ e a equação exige \0=-\frac{x,k{4}e{3x}}{k^{2}+2}\. Como \k^{2}+2>0\ sempre, o numerador deve ser zero: \x,k{4}e{3x}=0\. Isso só ocorre para \k=0\ (já que \e^{3x}\ e \x\ não são identicamente zero para todo \x\).
Passo 3
Verificamos que \y(x)=0\ é de fato solução: para essa função \dy/dx=0\ e o lado direito torna-se $
, logo a igualdade se sustenta.
Passo 4
Como a solução \y=0\ não aparece no procedimento de separação de variáveis (ela faz o lado esquerdo $-1/y -2/(3y^{3})$ ficar indefinido) e não vem de nenhuma escolha de constante na integral geral, ela é a solução singular do problema.
Resposta
y(x)=0