Encontre uma solução singular para a seguinte equação diferencial:
d yd x=-x y^4 e^3 xy^2+2

Passo 1

O enunciado pede uma solução singular para a equação diferencial $\frac{dy}{dx}=-\frac{x,y{4}e{3x}}{y^{2}+2}$. O conteúdo envolve identificar soluções constantes (eventuais soluções singulares) e verificar se elas escapam da família geral.

Passo 2

Para achar soluções constantes, suponha \y(x)=k\ constante. Então \dy/dx=0\ e a equação exige \0=-\frac{x,k{4}e{3x}}{k^{2}+2}\. Como \k^{2}+2>0\ sempre, o numerador deve ser zero: \x,k{4}e{3x}=0\. Isso só ocorre para \k=0\ (já que \e^{3x}\ e \x\ não são identicamente zero para todo \x\).

Passo 3

Verificamos que \y(x)=0\ é de fato solução: para essa função \dy/dx=0\ e o lado direito torna-se $ -x,0^4e^3x0^2+2=0, logo a igualdade se sustenta.

Passo 4

Como a solução \y=0\ não aparece no procedimento de separação de variáveis (ela faz o lado esquerdo $-1/y -2/(3y^{3})$ ficar indefinido) e não vem de nenhuma escolha de constante na integral geral, ela é a solução singular do problema.

Resposta

y(x)=0

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