Encontre a solução para a seguinte equação da onda e o problema das vibrações esféricas:
a^2(ur r+2r ur)=ut t, 00 u(c, t)=0, u(r, 0)=f(r), ut(r, 0)=g(r)
Dica: Observe que ur r+2r ur=1r partial^2partial r^2(r u). Considere a mudança das variáveis v(r, t)= r u(r, t).

Passo 1

Temos a equação da onda esfericamente simétrica
a^2l(urr+tfrac2rurr)=utt, com condição de contorno u(c,t)=0 e condições iniciais u(r,0)=f(r), ut(r,0)=g(r). Vamos usar métodos de PDE e transformações para resolver.

Passo 2

Para simplificar a parte radial, definimos a nova variável v(r,t)=r,u(r,t). Note que
urr+2rur=1rpartial^2partial r^2(r u)=1rvrr
Substituindo na PDE obtemos
vtt=a^2 vrr,
que é a onda unidimensional.

Passo 3

Precisamos traduzir as condições em v:
  • Em r=c: v(c,t)=c,u(c,t)=0
  • Em r=0: exige-se regularidade, logo v(0,t)=0
  • Nas iniciais: v(r,0)=r f(r) e vt(r,0)=r g(r)

Passo 4

Agora resolvemos
vtt=a^2 vrr,
para 0, com v(0,t)=v(c,t)=0. Usando separação de variáveis ou expansão em autofunções de Dirichlet, temos
v(r,t)=sumn=1^inftyl(Ancos(alambdan t)+Bnsin(alambdan t)r)sin(lambdan r),
onde lambdan=tfracnpic.

Passo 5

As constantes são determinadas pelas condições iniciais:
An=2cintegral0^c f(rho),rho,sin(lambdanrho),drho,
Bn=2alambdan cintegral0^c g(rho),rho,sin(lambdanrho),drho
Finalmente retornamos à variável original u através de u=v/r.

Resposta

A solução da equação da onda esférica com as condições dadas é
u(r,t)=sumn=1^inftyl(Ancos(alambdan t)+Bnsin(alambdan t)r)sin(lambdan r)r,
com
lambdan=npic,
An=2cintegral0^c f(rho),rho,sin(lambdanrho),drho,
Bn=2alambdan cintegral0^c g(rho),rho,sin(lambdanrho),drho

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