Encontre a solução para a seguinte equação da onda e o problema das vibrações esféricas:
Dica: Observe que
. Considere a mudança das variáveis
.
Passo 1
Temos a equação da onda esfericamente simétrica
Passo 2
Para simplificar a parte radial, definimos a nova variável
. Note que
Substituindo na PDE obtemos
que é a onda unidimensional.
Passo 3
Precisamos traduzir as condições em
:
- Em
: - Em
: exige-se regularidade, logo - Nas iniciais:
e
Passo 4
Agora resolvemos
para
, com
. Usando separação de variáveis ou expansão em autofunções de Dirichlet, temos
onde
.
Passo 5
As constantes são determinadas pelas condições iniciais:
Finalmente retornamos à variável original
através de
.
Resposta
A solução da equação da onda esférica com as condições dadas é
com