Encontre a solução para o seguinte problema de valor de contorno
onde
Passo 1
O problema pede para resolver a equação
u_{xx} = u_{t} + u,
com condições de contorno homogêneas u(0,t)=u(4,t)=0 e condição inicial u(x,0)=f(x)=1-x. Isso faz parte de equações diferenciais parciais (PDE) e vamos usar separação de variáveis e séries de Fourier para obter a solução.
u_{xx} = u_{t} + u,
com condições de contorno homogêneas u(0,t)=u(4,t)=0 e condição inicial u(x,0)=f(x)=1-x. Isso faz parte de equações diferenciais parciais (PDE) e vamos usar separação de variáveis e séries de Fourier para obter a solução.
Passo 2
Assumimos uma solução do tipo
Substituindo em u_{xx}=u_{t}+u, temos
e dividindo por X(x)T(t):
onde -\lambda é constante de separação.
Passo 3
Da separação espacial obtemos
com X(0)=X(4)=0. Isso é um problema de autovalores que gera as soluções não-triviais para
e os autofunções
para n=1,2,3,…
Passo 4
Da separação temporal obtemos
cuja solução é
Passo 5
Assim a solução geral por soma de modos é
Passo 6
Para determinar os coeficientes B_n usamos a condição inicial u(x,0)=f(x)=1-x. Logo
Pela ortogonalidade das senóides em [0,4]:
onde a = n\pi/4.
Passo 7
Calculamos a integral
por partes (ou tabelas), obtendo
pois \cos(4a)=\cos(n\pi)=(-1)^n e \sin(4a)=0. Assim
Passo 8
Substituindo B_n na série final, a solução do problema valor de contorno é
Resposta
u(x,t)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\bigl(1+3(-1)n\bigr)}{n\pi},\exp\Bigl(-\bigl(1+(n\pi/4)2\bigr)t\Bigr),\sin\Bigl(\frac{n\pi x}{4}\Bigr).