Encontre a solução para o seguinte problema de valor de contorno
ux x & =ut+u, 0 <= x <= 4 u(0, t) & =u(4, t)=0 u(x, 0) & =f(x)
onde
f(x)=1-x

Passo 1

O problema pede para resolver a equação
u_{xx} = u_{t} + u,
com condições de contorno homogêneas u(0,t)=u(4,t)=0 e condição inicial u(x,0)=f(x)=1-x. Isso faz parte de equações diferenciais parciais (PDE) e vamos usar separação de variáveis e séries de Fourier para obter a solução.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo
u(x,t) = X(x),T(t)
Substituindo em u_{xx}=u_{t}+u, temos
X''(x)T(t) = X(x)T'(t) + X(x)T(t)
e dividindo por X(x)T(t):
X''(x)X(x) = T'(t)+T(t)T(t) = -lambda
onde -\lambda é constante de separação.

Passo 3

Da separação espacial obtemos
X'' + lambda X = 0,
com X(0)=X(4)=0. Isso é um problema de autovalores que gera as soluções não-triviais para
lambdan = l(npi4r)^2,
e os autofunções
Xn(x) = sinl(npi x4r),
para n=1,2,3,…

Passo 4

Da separação temporal obtemos
T'(t) + T(t) = -lambda T(t) Longrightarrow T'(t) + (1+lambda),T(t)=0,
cuja solução é
Tn(t) = e^-(1+lambdan)t = expl(-l(1 + (npi/4)^2r)tr)

Passo 5

Assim a solução geral por soma de modos é
u(x,t) = sumn=1^infty Bn ,e^-(1+(npi/4)^2)t,sinl(npi x4r)

Passo 6

Para determinar os coeficientes B_n usamos a condição inicial u(x,0)=f(x)=1-x. Logo
1 - x = sumn=1^infty Bn ,sinl(npi x4r)
Pela ortogonalidade das senóides em [0,4]:
Bn = 24 integral0^4 (1-x) ,sinl(npi x4r) ,dx = tfrac12integral0^4(1-x)sin(a x),dx,
onde a = n\pi/4.

Passo 7

Calculamos a integral
In = integral0^4(1-x)sin(a x),dx,
por partes (ou tabelas), obtendo
In = 1+3(-1)^na,
pois \cos(4a)=\cos(n\pi)=(-1)^n e \sin(4a)=0. Assim
Bn = tfrac12,In = 1+3(-1)^n2a = 1+3(-1)^n2,(npi/4) = 2l(1+3(-1)^nr)npi

Passo 8

Substituindo B_n na série final, a solução do problema valor de contorno é
u(x,t) = sumn=1^infty 2l(1+3(-1)^nr)npi,expl(-l(1+(npi/4)^2r)tr)sinl(npi x4r)

Resposta

u(x,t)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\bigl(1+3(-1)n\bigr)}{n\pi},\exp\Bigl(-\bigl(1+(n\pi/4)2\bigr)t\Bigr),\sin\Bigl(\frac{n\pi x}{4}\Bigr).

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