Encontre a solução para o seguinte problema de valor de contorno
onde
Passo 1
Estamos diante da equação do calor unidimensional
no intervalo
com condições de contorno de Neumann
e condição inicial
. Vamos usar separação de variáveis e a expansão em séries de cossenos para resolver esse problema.
Passo 2
Para aplicar separação de variáveis, procuramos soluções da forma
. Substituindo em
obtemos
, o que leva à divisão por
e à equação de autovalores
Das condições de Neumann em
temos
e a resolução do problema de autovalores gera
As componentes temporais são
.
Passo 3
Precisamos expandir
na base
. Escrevemos
Os coeficientes são
Para calcular
, usamos partes duas vezes e obtemos
logo
Passo 4
Juntando tudo, a solução da equação do calor com essas condições é
Substituindo
,
e
achamos
Passo 5
Essa série satisfaz a condição inicial
e as condições de contorno de Neumann.
Resposta
u(x,t)=\frac{16}{3}+\sum_{n=1}{\infty}\frac{64(-1)n}{n2\pi2},e{-\frac{n2\pi^2}{16}t}\cos\Bigl(\frac{n\pi x}{4}\Bigr)