Encontre a solução para o seguinte problema de valor de contorno
ux x & =ut, 0 <= x <= 4 ux(0, t) & =ux(4, t)=0 u(x, 0) & =f(x)
onde
f(x)=x^2

Passo 1

Estamos diante da equação do calor unidimensional ut = uxx no intervalo 0<= x<= 4 com condições de contorno de Neumann ux(0,t)=ux(4,t)=0 e condição inicial u(x,0)=f(x)=x^2. Vamos usar separação de variáveis e a expansão em séries de cossenos para resolver esse problema.

Passo 2

Para aplicar separação de variáveis, procuramos soluções da forma u(x,t)=X(x)T(t). Substituindo em ut = uxx obtemos X(x)T'(t)=X''(x)T(t), o que leva à divisão por X T e à equação de autovalores
T'(t)T(t)=X''(x)X(x)=-lambda
Das condições de Neumann em X temos
X'(0)=X'(4)=0,
e a resolução do problema de autovalores gera
lambdan=l(npi4r)^2, Xn(x)=cosl(tfracnpi x4r), n=0,1,2,dots
As componentes temporais são Tn(t)=e^-lambdan t.

Passo 3

Precisamos expandir f(x)=x^2 na base cos(npi x/4). Escrevemos
f(x)=A0+sumn=1^infty Ancosl(npi x4r)
Os coeficientes são
A0=14integral0^4x^2,dx=14cdot4^33=163,
An=24integral0^4x^2cosl(npi x4r)dx=12In
Para calcular In=integral0^4x^2cosl(tfracnpi x4r)dx, usamos partes duas vezes e obtemos
In=128(-1)^nn^2pi^2
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An=64(-1)^nn^2pi^2

Passo 4

Juntando tudo, a solução da equação do calor com essas condições é
u(x,t)=A0+sumn=1^infty An e^-lambdan tcosl(npi x4r)
Substituindo A0, An e lambdan achamos
boxedu(x,t)=163+sumn=1^infty64(-1)^nn^2pi^2,e^-n^2pi^216tcosl(npi x4r)

Passo 5

Essa série satisfaz a condição inicial u(x,0)=x^2 e as condições de contorno de Neumann.

Resposta

u(x,t)=\frac{16}{3}+\sum_{n=1}{\infty}\frac{64(-1)n}{n2\pi2},e{-\frac{n2\pi^2}{16}t}\cos\Bigl(\frac{n\pi x}{4}\Bigr)

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