Resolver as equações polinomiais
; determine as raízes pelo método de Ruffini. Faça um gráfico aproximado da função polinomial
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Passo 1
O enunciado pede para achar as raízes da equação polinomial p(x)=0 usando o método de Ruffini e depois esboçar o gráfico aproximado de y=p(x). Vamos estudar um polinômio de quarto grau e usar divisão sintética (Ruffini) e depois montar o esboço do gráfico.
Passo 2
Pelo Teorema das Raízes Racionais, as possíveis raízes são os divisores de 6 (termo independente), ou seja: ±1, ±2, ±3, ±6.
Passo 3
Testando x=1 em p(x) vemos que p(1)=1−1−7+1+6=0. Então x=1 é raiz. Aplicando Ruffini com 1 aos coeficientes (1, −1, −7, 1, 6) obtemos o quociente de grau 3:
ou seja, o polinômio se reduz a x³−7x−6.
Passo 4
Agora testamos x=−1 nesse quociente. Como (−1)³−7(−1)−6=−1+7−6=0, x=−1 também é raiz. Aplicando Ruffini com −1 aos coeficientes (1, 0, −7, −6) obtemos:
o que corresponde ao polinômio de grau 2: x²−x−6.
Passo 5
Para achar as raízes de x²−x−6=0 usamos a fórmula de Bhaskara. O discriminante é Δ=1+24=25, logo as raízes são
isto é, x=3 e x=−2.
Passo 6
Assim, o polinômio original se fatoriza como
e as raízes são x=1, x=−1, x=3 e x=−2.
Passo 7
Para esboçar o gráfico: como o termo líder é +x⁴, temos p(x)→+∞ quando x→±∞. Os zeros em x=−2, −1, 1 e 3 são simples, então o gráfico cruza o eixo x em cada um deles. Entre esses pontos o sinal alterna:
Intervalo x<−2: p>0
Intervalo (−2,−1): p<0
Intervalo (−1,1): p>0
Intervalo (1,3): p<0
Intervalo x>3: p>0
Podemos ainda verificar valores intermediários (por exemplo p(−1.5)<0, p(0)=6>0, p(2)<0) para confirmar o esboço que sobe nos infinitos, cruza em −2, desce, cruza em −1, sobe, cruza em 1, desce, cruza em 3 e sobe novamente.
Intervalo x<−2: p>0
Intervalo (−2,−1): p<0
Intervalo (−1,1): p>0
Intervalo (1,3): p<0
Intervalo x>3: p>0
Podemos ainda verificar valores intermediários (por exemplo p(−1.5)<0, p(0)=6>0, p(2)<0) para confirmar o esboço que sobe nos infinitos, cruza em −2, desce, cruza em −1, sobe, cruza em 1, desce, cruza em 3 e sobe novamente.
Resposta
As raízes de p(x)=x⁴−x³−7x²+x+6 são x=−2, x=−1, x=1 e x=3. O gráfico de y=p(x) tem as seguintes características: cresce para +∞ em x→±∞, cruza o eixo x em cada raiz (pontos simples) e alterna de sinal nos intervalos entre elas, conforme descrito acima.