Resolver as equações polinomiais p(x)=0; determine as raízes pelo método de Ruffini. Faça um gráfico aproximado da função polinomial y=p(x).
(9) p(x)=x^4-x^3-7 x^2+x+6.

Passo 1

O enunciado pede para achar as raízes da equação polinomial p(x)=0 usando o método de Ruffini e depois esboçar o gráfico aproximado de y=p(x). Vamos estudar um polinômio de quarto grau e usar divisão sintética (Ruffini) e depois montar o esboço do gráfico.

Passo 2

Pelo Teorema das Raízes Racionais, as possíveis raízes são os divisores de 6 (termo independente), ou seja: ±1, ±2, ±3, ±6.

Passo 3

Testando x=1 em p(x) vemos que p(1)=1−1−7+1+6=0. Então x=1 é raiz. Aplicando Ruffini com 1 aos coeficientes (1, −1, −7, 1, 6) obtemos o quociente de grau 3:
1 -1 -7 1 6 ,,1,1 -6 -6 1,0 -7 -6 0
ou seja, o polinômio se reduz a x³−7x−6.

Passo 4

Agora testamos x=−1 nesse quociente. Como (−1)³−7(−1)−6=−1+7−6=0, x=−1 também é raiz. Aplicando Ruffini com −1 aos coeficientes (1, 0, −7, −6) obtemos:
1 0 -7 -6 -1 1 -6 1 -1 -6 0
o que corresponde ao polinômio de grau 2: x²−x−6.

Passo 5

Para achar as raízes de x²−x−6=0 usamos a fórmula de Bhaskara. O discriminante é Δ=1+24=25, logo as raízes são
x=1pmraiz252=1pm52
isto é, x=3 e x=−2.

Passo 6

Assim, o polinômio original se fatoriza como
p(x)=(x-1)(x+1)(x-3)(x+2)
e as raízes são x=1, x=−1, x=3 e x=−2.

Passo 7

Para esboçar o gráfico: como o termo líder é +x⁴, temos p(x)→+∞ quando x→±∞. Os zeros em x=−2, −1, 1 e 3 são simples, então o gráfico cruza o eixo x em cada um deles. Entre esses pontos o sinal alterna:
Intervalo x<−2: p>0
Intervalo (−2,−1): p<0
Intervalo (−1,1): p>0
Intervalo (1,3): p<0
Intervalo x>3: p>0
Podemos ainda verificar valores intermediários (por exemplo p(−1.5)<0, p(0)=6>0, p(2)<0) para confirmar o esboço que sobe nos infinitos, cruza em −2, desce, cruza em −1, sobe, cruza em 1, desce, cruza em 3 e sobe novamente.

Resposta

As raízes de p(x)=x⁴−x³−7x²+x+6 são x=−2, x=−1, x=1 e x=3. O gráfico de y=p(x) tem as seguintes características: cresce para +∞ em x→±∞, cruza o eixo x em cada raiz (pontos simples) e alterna de sinal nos intervalos entre elas, conforme descrito acima.

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