Encontre a solução do seguinte problema de valor inicial
l x^prime prime+4 x^prime+5 x=de<a(t-pi)+de<a(t-2 pi) x(0)=0, x^prime(0)=2
e determine x(3 pi / 2).

Passo 1

O enunciado pede a solução do PVI
x'' + 4x' + 5x = de<a(t-pi) + de<a(t-2pi), x(0)=0,;x'(0)=2
Trata-se de um EDO linear de 2ª ordem com dois impulsos em t=pi e t=2pi. Vamos resolver peça-por-peça:
  • Para 0<= t<pi (antes do 1.º impulso),
  • Impulso em t=pi gera salto em x',
  • Para pi<t<2pi (após o 1.º impulso),
    e então avaliaremos x(3pi/2), que pertence ao segundo trecho.

Passo 2

Para 0<= t<pi a EDO é homogênea
x''+4x'+5x=0
com solução geral
x1(t)=e^-2tl(Acos t + Bsin tr)
Impondo x1(0)=0Rightarrow A=0.
Derivando e impondo x1'(0)=2
x1'(t) =e^-2tl(Bcos t-2Bsin tr), x1'(0)=B=2
Logo
x1(t)=2e^-2tsin t, t<pi

Passo 3

No instante t=pi há o termo de<a(t-pi), que produz salto na derivada. Integrando de pi^- a pi^+ obtemos
x'(pi^+)-x'(pi^-)=1
Calculamos em t=pi:
x1(pi)=2e^-2pisin(pi)=0, x1'(pi)=2e^-2pi(cospi-2sinpi)=-2e^-2pi
Logo
x(pi^+)=0, x'(pi^+)=x1'(pi)+1=-2e^-2pi+1

Passo 4

Para pi<t<2pi a solução é outra homogênea
x2(t)=e^-2tl(Ccos t + Dsin tr)
As condições em t=pi dão
x2(pi)=e^-2pi(-C)=0 Rightarrow C=0,
x2'(pi)=-D,e^-2pi =x'(pi^+)= -2e^-2pi+1 Rightarrow D=2-e^2pi
Portanto
x2(t)=e^-2t(2-e^2pi)sin t, pi<t<2pi

Passo 5

Como 3pi/2in(pi,2pi), temos
xl(tfrac3pi2r) =x2l(tfrac3pi2r) =e^-2cdot3pi2(2-e^2pi)sinl(tfrac3pi2r) =e^-3pi(2-e^2pi)(-1) =(e^2pi-2)e^-3pi
Simplificando,
(e^2pi-2)e^-3pi =e^-pi-2e^-3pi

Resposta

xl(tfrac3pi2r) =e^-pi-2e^-3pi

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