Utilize a tabela a seguir, das séries de Maclaurin, para obter a série de Maclaurin das funções:
ll 11-x=sumn=0^infty x^n=1+x+x^2+x^3+cdots & R=1 e^x=sumn=0^infty x^nn!=1+x1!+x^22!+x^33!+cdots & R=infty sen x=sumn=0^infty(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!=x-x^33!+x^55!-x^77!+cdots & R=infty cos x=sumn=0^infty(-1)^n x^2 n(2 n)!=1-x^22!+x^44!-x^66!+cdots & R=infty tg^-1 x=sumn=0^infty(-1)^n x^2 n+12 n+1=x-x^33+x^55-x^77+cdots & R=1 ln (1+x)=sumn=1^infty(-1)^n-1 x^nn=x-x^22+x^33-x^44+cdots & R=1 (1+x)^k=sumn=0^inftybinomkn x^n=1+k x+k(k-1)2! x^2+k(k-1)(k-2)3! x^3+cdots & R=1
b) f(x)=x cos (12 x^2)

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de
f(x)=xcos!l(tfrac12x^2r)
Aqui o conteúdo é expansão em série de Maclaurin, e vamos usar a fórmula para cos u da tabela e depois compor u=tfrac12x^2 e, por fim, multiplicar por x.

Passo 2

Da tabela, a série de Maclaurin de cos u é
cos u = sumn=0^infty(-1)^nu^2n(2n)!

Passo 3

Fazendo a substituição u=tfrac12x^2 na série acima, obtemos
cos!l(tfrac12x^2r) =sumn=0^infty(-1)^nl(tfrac12x^2r)^2n(2n)! =sumn=0^infty(-1)^n(tfrac12)^2n,x^4n(2n)!

Passo 4

Agora multiplicamos essa série por x:
f(x)=xcos!l(tfrac12x^2r) =xsumn=0^infty(-1)^n(tfrac12)^2n,x^4n(2n)! =sumn=0^infty(-1)^n(tfrac12)^2n(2n)!,x^4n+1

Passo 5

Escrevendo os primeiros termos, para n=0,1,2,3:
f(x)=x-18x^5+1384x^9-146080x^13+cdots
Como a série de cos u tem raio de convergência infinito, esta também tem R=infty.

Resposta

f(x)=sumn=0^infty(-1)^n(tfrac12)^2n(2n)!,x^4n+1 =x-18x^5+1384x^9-cdots, R=infty

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