Questão (0,4 ponto): Considere as seguintes afirmativas.
I. Se é um número real tal que .
II. Se e são números reais tais que , então .
III. Quaisquer que sejam os reais e .
IV. A inequação .
Assinale a alternativa CORRETA.
(A) Apenas a afirmativa I é correta.
(B) Apenas a afirmativa III é correta.
(C) Apenas as afirmativas I e III são corretas.
(D) Apenas as afirmativas II e IV são corretas.
(E) Apenas as afirmativas III e IV são corretas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão apresenta quatro afirmações sobre números reais e inequações. Nosso objetivo é verificar quais dessas afirmações estão corretas. Para resolver isso, vamos analisar cada uma delas passo a passo, usando conhecimentos de álgebra e propriedades dos números reais.

Passo 2

Afirmação I: Se x^2 neq 9 , então x neq 3 e x neq -3 .
Vamos entender isso. Sabemos que x^2 = 9 tem duas soluções: x = 3 e x = -3 . Portanto, se x^2 não é igual a 9, significa que x não pode ser nem 3 nem -3. Então, essa afirmação está correta.

Passo 3

Afirmação II: Se x e y são números reais tais que x < y , então x^2 < y^2 .
Vamos testar isso com um exemplo. Suponha que x = -2 e y = 1 . Aqui, x < y porque -2 é menor que 1. Calculando os quadrados: x^2 = 4 e y^2 = 1 . Mas 4 não é menor que 1. Isso mostra que a afirmação não é sempre verdadeira. Portanto, essa afirmação está incorreta.

Passo 4

Afirmação III: Quaisquer que sejam os reais x e y , x^2 = y^2 implica que x = y ou x = -y .
Vamos analisar isso. Se x^2 = y^2 , isso significa que ao tirar a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos duas possibilidades: x = y ou x = -y . Por exemplo, se x = 3 e y = -3 , então x^2 = y^2 = 9 . Assim, a afirmação está correta.

Passo 5

Afirmação IV: A inequação 2x - 11 - x neq 3 é equivalente a 2x - 1 neq 3(1 - x) .
Para verificar a equivalência, vamos multiplicar ambos os lados da inequação original pelo denominador 1 - x , desde que 1 - x neq 0 (ou seja, x neq 1 ). Fazendo isso:
2x - 11 - x neq 3 Rightarrow 2x - 1 neq 3(1 - x)
Portanto, as duas inequações são equivalentes quando x neq 1 . A afirmação está correta.

Resposta

A alternativa (C) Apenas as afirmativas I e III são corretas é a correta.

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