Questão (0,4 ponto): Considere as seguintes afirmativas.
I. Se
é um número real tal que .
II. Se
e
são números reais tais que
, então
.
III. Quaisquer que sejam os reais
e .
IV. A inequação .
Assinale a alternativa CORRETA.
(A) Apenas a afirmativa I é correta.
(B) Apenas a afirmativa III é correta.
(C) Apenas as afirmativas I e III são corretas.
(D) Apenas as afirmativas II e IV são corretas.
(E) Apenas as afirmativas III e IV são corretas.
I. Se
II. Se
III. Quaisquer que sejam os reais
IV. A inequação .
(A) Apenas a afirmativa I é correta.
(B) Apenas a afirmativa III é correta.
(C) Apenas as afirmativas I e III são corretas.
(D) Apenas as afirmativas II e IV são corretas.
(E) Apenas as afirmativas III e IV são corretas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão apresenta quatro afirmações sobre números reais e inequações. Nosso objetivo é verificar quais dessas afirmações estão corretas. Para resolver isso, vamos analisar cada uma delas passo a passo, usando conhecimentos de álgebra e propriedades dos números reais.
Passo 2
Afirmação I: Se
, então
e
.
Vamos entender isso. Sabemos que
tem duas soluções:
e
. Portanto, se
não é igual a 9, significa que
não pode ser nem 3 nem -3. Então, essa afirmação está correta.
Passo 3
Afirmação II: Se
e
são números reais tais que
, então
.
Vamos testar isso com um exemplo. Suponha que
e
. Aqui,
porque -2 é menor que 1. Calculando os quadrados:
e
. Mas 4 não é menor que 1. Isso mostra que a afirmação não é sempre verdadeira. Portanto, essa afirmação está incorreta.
Passo 4
Afirmação III: Quaisquer que sejam os reais
e
,
implica que
ou
.
Vamos analisar isso. Se
, isso significa que ao tirar a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos duas possibilidades:
ou
. Por exemplo, se
e
, então
. Assim, a afirmação está correta.
Passo 5
Afirmação IV: A inequação
é equivalente a
.
Para verificar a equivalência, vamos multiplicar ambos os lados da inequação original pelo denominador
, desde que
(ou seja,
). Fazendo isso:
Portanto, as duas inequações são equivalentes quando
. A afirmação está correta.
Resposta
A alternativa (C) Apenas as afirmativas I e III são corretas é a correta.