Encontre a solução para o seguinte PVI:
2 t yt^2+1-2 t-(2-ln (t^2+1)) y^prime=0, y(5)=0
Solução implícita:
y(ln (t^2+1)-2)-t^2=-25

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI de primeira ordem
2 t yt^2+1-2 t-l(2-ln(t^2+1)r)y'=0, y(5)=0
O conteúdo aqui é equações lineares de 1ª ordem. Para resolver, vamos precisar escrever na forma padrão
y'+P(t),y=Q(t)
e usar o fator integrante.

Passo 2

Primeiro reorganizamos a equação para isolar y'. Note que
(2-ln(t^2+1)),y'=2 t yt^2+1-2 t
Multiplicando por -1 e dividindo por (2-ln(t^2+1)), fica
y'-2t(t^2+1)(2-ln(t^2+1)),y=-2t2-ln(t^2+1)
Aqui identificamos
P(t)=-2t(t^2+1)(2-ln(t^2+1)),
Q(t)=-2t2-ln(t^2+1)

Passo 3

Para equações lineares, o fator integrante é
mu(t)=expl(integral P(t),dtr)
No nosso caso usamos a substituição
integral P(t),dt=integral-2t(t^2+1)(2-ln(t^2+1))dt =integralduu=ln|u|
então
mu(t)=|2-ln(t^2+1)|,
e
Logo
mas podemos tomar sem valor absoluto para incorporar constante de integração.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(t):
mu(t)y'+mu(t)P(t)y=mu(t)Q(t)
O lado esquerdo vira derivada de mu(t)y, então
ddtl((2-ln(t^2+1))yr)=-2t
Integrando ambos os lados,
(2-ln(t^2+1))y=-t^2+C
ou reescrevendo
yl(ln(t^2+1)-2r)=t^2-C

Passo 5

Agora aplicamos a condição inicial y(5)=0. Como ln(5^2+1)-2=ln26-2neq0, temos
0cdot(ln26-2)=25-Cimplies C=25

Passo 6

Com C=25, a forma implícita é
y(ln(t^2+1)-2)=t^2-25
Para obtermos a solução explícita, isolamos y:
y=t^2-25ln(t^2+1)-2

Resposta

y(t)=\frac{t{2}-25}{\ln\bigl(t{2}+1\bigr)-2}

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