Encontre a solução para o seguinte PVI:
Solução implícita:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o PVI de primeira ordem
O conteúdo aqui é equações lineares de 1ª ordem. Para resolver, vamos precisar escrever na forma padrão
e usar o fator integrante.
Passo 2
Primeiro reorganizamos a equação para isolar
. Note que
Multiplicando por
e dividindo por
, fica
Aqui identificamos
Passo 3
Para equações lineares, o fator integrante é
No nosso caso usamos a substituição
então
e
então
e
Logo
mas podemos tomar sem valor absoluto para incorporar constante de integração.
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
:
O lado esquerdo vira derivada de
, então
Integrando ambos os lados,
ou reescrevendo
Passo 5
Agora aplicamos a condição inicial
. Como
, temos
Passo 6
Com
, a forma implícita é
Para obtermos a solução explícita, isolamos
:
Resposta
y(t)=\frac{t{2}-25}{\ln\bigl(t{2}+1\bigr)-2}