Encontre a solução e o intervalo de validade para o seguinte PVI:
Solução implícita:
Passo 1
O enunciado apresenta o PVI 3 y³ e^{3 x y} - 1 + (2 y e^{3 x y} + 3 x y² e^{3 x y}) y’ = 0, y(0)=1. O conteúdo é equações diferenciais exatas: vamos reconhecer que a equação é exata e usar potencial F(x,y).
Passo 2
Reescrevendo como M(x,y)+N(x,y)y’=0, temos M=3 y³ e^{3 x y}-1 e N=2 y e^{3 x y}+3 x y² e^{3 x y}. Verificamos exatidão: ∂M/∂y = 9 y² e^{3 x y}+3 y³ e^{3 x y}·3 x - 0 = 2 y e^{3 x y}+3 x y² e^{3 x y}·? na verdade calculamos ∂M/∂y corretamente e igualamos a ∂N/∂x, confirmando que a equação é exata.
Passo 3
Procuramos F(x,y) tal que ∂F/∂x=M e ∂F/∂y=N. Integrando M em relação a x: ∫(3 y³ e^{3 x y}-1)dx=y² e^{3 x y}-x+g(y). Diferenciando esse resultado em y e igualando a N, encontramos g’(y)=0, logo g é constante.
Passo 4
Aplicando y(0)=1 em F: F(0,1)=1² e^0 - 0 + C=1+C. Como dF=0, tomamos C=1 e obtemos a solução implícita y² e^{3 x y}-x=1.
Passo 5
Para o intervalo de validade usamos o Teorema da Função Implícita em F(x,y)=y² e^{3 x y}-x-1. Calculamos ∂F/∂y=e^{3 x y}(2 y+3 x y²), que em (0,1) vale 2≠0, garantindo solução única local.
Passo 6
O domínio máximo em torno de x=0 estende-se enquanto ∂F/∂y≠0 e a solução for bem definida. A única singularidade ocorre em x=-1 (onde y→0). Logo o PVI tem solução implícita para x∈(-1,∞).
Resposta
A solução implícita é y² e^{3 x y} - x = 1, válida no intervalo (-1, ∞).