Equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante f(t) em peça (vale e^{-2t}\sin 3t até t=\pi e depois é 0).
Condições iniciais: y(0)=1 e y'(0)=2.
Objetivo: encontrar y(t) para t\ge0 (solução única do PVI).]
Passo 2
Representar f(t) usando a função degrau (Heaviside) para trabalhar com transformadas de Laplace. A função degrau u(t-a) vale 0 para t<a e 1 para t\ge a. Escreve-se
f(t)=e^{-2t}\sin 3t\cdot\bigl(1-u(t-\pi)\bigr).
Desenvolvendo:
f(t)=e^{-2t}\sin 3t - e^{-2t}\sin 3t\;u(t-\pi).
Agora reescreve o segundo termo como uma função deslocada no tempo. Usando a identidade \sin(3t)= -\sin(3(t-\pi)) (porque \sin(3\pi)=0 e \cos(3\pi)=-1), obtemos
Pela propriedade do deslocamento: \mathcal{L}\{u(t-a)h(t-a)\}(s)=e^{-a s}H(s) onde H(s)=\mathcal{L}\{h(t)\}. Assim, com a=\pi e h(t)=e^{-2t}\sin3t (mesma g):
Agora invertemos o termo deslocado \dfrac{3e^{-\pi(s+2)}}{\bigl((s+2)^2+9\bigr)^2}. Pela propriedade do deslocamento multiplicando por e^{-\pi s}, obtemos uma parcela que é zero para t<\pi e para t\ge\pi vale a função obtida em t-\pi, multiplicada pelo factor e^{-2\pi} (lembrar que e^{-\pi(s+2)}=e^{-2\pi}e^{-\pi s}). Mais explicitamente, se