Considere
f(t)= \begin{cases}|\cos t|, & 0 \leq t<3 \pi / 2 \\\\ 0, & t \geq 3 \pi / 2\end{cases}
Calcule a transformada de Laplace de f.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(t)= \begin{cases}|\cos t|, & 0 \leq t<3 \pi / 2,\\[4pt] 0, & t \geq 3 \pi / 2,\end{cases}
e pede a transformada de Laplace de f.
O que isso significa na prática: a transformada de Laplace F(s) é definida por
F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • f(t)=|\cos t| apenas no intervalo [0,3\pi/2) e é zero a partir de t=3\pi/2.
  • Portanto a integral acima reduz-se a um integral em intervalo finito: \displaystyle F(s)=\int_{0}^{3\pi/2} e^{-s t}|\cos t|\,dt.
  • Precisamos tratar o valor absoluto, ou seja, identificar onde \cos t é positivo ou negativo em [0,3\pi/2].]

Passo 2

Vamos separar os subintervalos onde o sinal de \cos t\) é constante. Saber isso é só observar o ciclo do cosseno: - Em \([0,\pi/2]\) tem \(\cos t\ge 0\) (positivo, zero em \(t=\pi/2\)). - Em \((\pi/2,3\pi/2)\) tem \(\cos t\le 0\) (negativo, zero em \(t=3\pi/2\)). Assim, em termos do valor absoluto: \[|\cos t|=\begin{cases}\cos t, & 0\le t\le \pi/2,\\[4pt] -\cos t, & \pi/2\le t\le 3\pi/2.\end{cases}
(obs.: nos pontos extremos onde (\cos t=0] não há problema para a integral).]

Passo 3

Substituindo essa decomposição na integral da transformada de Laplace, obtemos
F(s)=\int_{0}^{\pi/2} e^{-s t}\cos t\,dt \;+\; \int_{\pi/2}^{3\pi/2} e^{-s t}(-\cos t)\,dt.
Para ficar mais simples, escrevo isso como
F(s)=I_1 - I_2,
onde
I_1=\int_{0}^{\pi/2} e^{-s t}\cos t\,dt,\qquad I_2=\int_{\pi/2}^{3\pi/2} e^{-s t}\cos t\,dt.

Passo 4

Agora precisamos de uma primitiva de e^{-s t}\cos t. Vou mostrar um truque rápido que dá essa primitiva sem fancy: considere a expressão
G(t)=e^{-s t}\bigl(-s\cos t+\sin t\bigr).
Vamos computar G'(t). Diferenciando usando a regra do produto:
G'(t)=e^{-s t}\bigl(-s(-s\cos t+\sin t)\bigr)+e^{-s t}\bigl(\,s\sin t+\cos t\,\bigr).
Agrupando os termos dentro do colchete:
G'(t)=e^{-s t}\bigl(s^{2}\cos t -s\sin t + s\sin t + \cos t\bigr) = e^{-s t}(s^{2}+1)\cos t.
Logo uma primitiva de e^{-s t}\cos t é
\frac{G(t)}{s^{2}+1}=\frac{e^{-s t}\bigl(-s\cos t+\sin t\bigr)}{s^{2}+1}.
Em outras palavras,
\int e^{-s t}\cos t\,dt=\frac{e^{-s t}\bigl(-s\cos t+\sin t\bigr)}{s^{2}+1}+C.
Essa é uma fórmula padrão (é a versão com a=-s, b=1 de \int e^{a t}\cos(bt)\,dt), e aqui a usamos explicitamente.

Passo 5

Calcular I_1 usando a primitiva obtida:
I_1=\left[\frac{e^{-s t}\bigl(-s\cos t+\sin t\bigr)}{s^{2}+1}\right]_{0}^{\pi/2}.
Avalio nos extremos:
  • Em t=\pi/2: \cos(\pi/2)=0,\\ \sin(\pi/2)=1, então o numerador é e^{-s\pi/2}\cdot(0+1)=e^{-s\pi/2}.
  • Em t=0: \cos 0=1,\\ \sin 0=0, então o numerador é e^{0}\cdot(-s\cdot 1+0)=-s.
    Portanto
I_1=\frac{e^{-s\pi/2}}{s^{2}+1}-\frac{-s}{s^{2}+1}=\frac{e^{-s\pi/2}+s}{s^{2}+1}.

Passo 6

Calcular I_2 da mesma forma:
I_2=\left[\frac{e^{-s t}\bigl(-s\cos t+\sin t\bigr)}{s^{2}+1}\right]_{\pi/2}^{3\pi/2}.
Avalio nos extremos:
  • Em t=3\pi/2: \cos(3\pi/2)=0,\\ \sin(3\pi/2)=-1, então numerador =e^{-3s\pi/2}\cdot(0-1)=-e^{-3s\pi/2}.
  • Em t=\pi/2: já calculado, numerador =e^{-s\pi/2}.
    Logo
I_2=\frac{-e^{-3s\pi/2}}{s^{2}+1}-\frac{e^{-s\pi/2}}{s^{2}+1} = -\frac{e^{-3s\pi/2}+e^{-s\pi/2}}{s^{2}+1}.

Passo 7

Lembrando que F(s)=I_1-I_2, substituímos os resultados:
F(s)=\frac{e^{-s\pi/2}+s}{s^{2}+1} -\left(-\frac{e^{-3s\pi/2}+e^{-s\pi/2}}{s^{2}+1}\right).
Simplificando (somando numeradores sobre o mesmo denominador):
F(s)=\frac{s+e^{-s\pi/2}+e^{-s\pi/2}+e^{-3s\pi/2}}{s^{2}+1} =\frac{s+2e^{-s\pi/2}+e^{-3s\pi/2}}{s^{2}+1}.
Pode-se também fatorar e^{-s\pi/2} se quiser:
F(s)=\frac{s+e^{-s\pi/2}\bigl(2+e^{-s\pi}\bigr)}{s^{2}+1}.

Passo 8

Comentário sobre convergência: como f(t) tem suporte compacto (é zero para t\ge 3\pi/2), a integral defining F(s) é convergente para todo s\in\mathbb{C}; portanto F(s) é uma função inteira (definida em todo o plano complexa). Para propósitos usuais com s real positivo, a expressão acima vale sem restrição adicional sobre s.

Resposta

F(s)=\frac{s+2e^{-s\pi/2}+e^{-3s\pi/2}}{s^{2}+1}.

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