e pede a transformada de Laplace de f.
O que isso significa na prática: a transformada de Laplace F(s) é definida por
F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
f(t)=|\cos t| apenas no intervalo [0,3\pi/2) e é zero a partir de t=3\pi/2.
Portanto a integral acima reduz-se a um integral em intervalo finito: \displaystyle F(s)=\int_{0}^{3\pi/2} e^{-s t}|\cos t|\,dt.
Precisamos tratar o valor absoluto, ou seja, identificar onde \cos t é positivo ou negativo em [0,3\pi/2].]
Passo 2
Vamos separar os subintervalos onde o sinal de \cos t\) é constante. Saber isso é só observar o ciclo do cosseno:
- Em \([0,\pi/2]\) tem \(\cos t\ge 0\) (positivo, zero em \(t=\pi/2\)).
- Em \((\pi/2,3\pi/2)\) tem \(\cos t\le 0\) (negativo, zero em \(t=3\pi/2\)).
Assim, em termos do valor absoluto:
\[|\cos t|=\begin{cases}\cos t, & 0\le t\le \pi/2,\\[4pt] -\cos t, & \pi/2\le t\le 3\pi/2.\end{cases}
(obs.: nos pontos extremos onde (\cos t=0] não há problema para a integral).]
Passo 3
Substituindo essa decomposição na integral da transformada de Laplace, obtemos
Comentário sobre convergência: como f(t) tem suporte compacto (é zero para t\ge 3\pi/2), a integral defining F(s) é convergente para todo s\in\mathbb{C}; portanto F(s) é uma função inteira (definida em todo o plano complexa). Para propósitos usuais com s real positivo, a expressão acima vale sem restrição adicional sobre s.