integral x^3 cdot ln (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x^3ln(x),dx. Vamos usar integração por partes, que é a técnica indicada quando temos um produto entre uma função polinomial e um logaritmo.

Passo 2

A fórmula de integração por partes é
integral u,dv = u,v - integral v,du
Aqui escolhemos
u = ln(x) e dv = x^3,dx, pois derivar ln(x) simplifica e integrar x^3 é direto.

Passo 3

Derivando u e integrando dv obtemos
du = 1x,dx, v = integral x^3,dx = x^44

Passo 4

Aplicando a fórmula de partes:
integral x^3ln(x),dx = u,v - integral v,du = ln(x)cdotx^44 - integral x^44 cdot 1x,dx

Passo 5

Dentro da integral que sobrou, simplificamos:
x^44 cdot 1x = x^34,
então
integral x^3ln(x),dx = x^44ln(x) - 14 integral x^3,dx

Passo 6

Agora integramos x^3:
integral x^3,dx = x^44
Logo,
integral x^3ln(x),dx = x^44ln(x) - 14 cdot x^44 + C

Passo 7

Por fim, agrupando termos, a resposta simplificada é
x^44ln(x) - x^416 + C

Resposta

x^44ln(x) - x^416 + C

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