Usando o método da eq. dif. exata encontre a solução - na forma implícita - do seguinte PVI:
\left\{\begin{array}{l} {\left[2 x+y^{2}\right] d x+[2 x y] d y \equiv 0} \\\ y(1)=1 \end{array}\right.

Passo 1

O problema é um PVI dado por
\bigl[2x + y^{2}\bigr]\,dx + \bigl[2xy\bigr]\,dy = 0,
com condição inicial y(1)=1.
O método a aplicar é o de equação diferencial exata, ou seja, verificar se existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = 2x + y^{2}, \quad \frac{\partial \varphi}{\partial y} = 2xy.

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x + y^{2}\bigr) = 2y, \qquad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2xy\bigr) = 2y.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para encontrar \varphi(x,y), integramos M(x,y)=2x+y^{2} em relação a x:
\varphi(x,y) = \int (2x + y^{2})\,dx = x^{2} + x\,y^{2} + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Derivamos \varphi em relação a y e igualamos a N(x,y)=2xy:
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = 2x\,y + h'(y) \overset{!}{=} 2x\,y \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=0 \quad\Longrightarrow\quad h(y)=\text{const}.
Logo a solução geral implícita é
\varphi(x,y)=x^{2}+x\,y^{2}=C.

Passo 5

Impondo a condição inicial y(1)=1:
1^{2} + 1\cdot1^{2}=2 \quad\Longrightarrow\quad C=2.
Portanto a solução do PVI, em forma implícita, é
x^{2}+x\,y^{2}=2.

Resposta

x^{2} + x\,y^{2} = 2.

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