Sunstitutiva dả Primeira Prova de Cálculo I
Valor 2,0 pontos
- (
Dê o domínio das funções abaixo:
Valor 2,0 pontos
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede para a gente encontrar o domínio da função $ f(x) = \sqrt{x^{3} - 3x^{2} + 3x} $. O domínio de uma função é basicamente todos os valores de $ x $ que fazem a função funcionar direitinho, sem problemas como dividir por zero ou tirar raiz de número negativo. Hoje, vamos focar em garantir que tudo dentro da raiz quadrada fique maior ou igual a zero para que a função seja válida.
Passo 2
Primeiro, sabemos que dentro da raiz quadrada tem que ser um número não negativo. Então, vamos garantir que:
Agora, precisamos resolver essa desigualdade para descobrir para quais $ x $ isso é verdadeiro.
Passo 3
Vamos tentar fatorar a expressão para facilitar. Podemos tirar um $ x $ em comum:
Agora, temos dois fatores: $ x $ e $ x^{2} - 3x + 3 $. Precisamos analisar quando o produto deles é positivo ou zero.
Passo 4
Primeiro, vamos achar os zeros de cada fator:
- Para $ x = 0 $, obvio, já temos um zero.
- Para $ x^{2} - 3x + 3 = 0 $, usamos a fórmula de Bhaskara:
Como temos a raiz quadrada de um número negativo, isso significa que não há soluções reais para essa equação. Ou seja, $ x^{2} - 3x + 3 $ nunca é zero e, na verdade, sempre é positivo porque o coeficiente de $ x^{2} $ é positivo.
Passo 5
Então, a desigualdade $ x(x^{2} - 3x + 3) \geq 0 $ depende apenas do sinal de $ x $, já que $ x^{2} - 3x + 3 $ é sempre positivo. Assim:
Portanto, para que a expressão dentro da raiz seja não negativa, $ x $ precisa ser maior ou igual a zero.
Resposta
O domínio da função é todos os números reais maiores ou iguais a zero, ou seja: