Sunstitutiva dả Primeira Prova de Cálculo I
Valor 2,0 pontos
  1. ( 0,4 pts) Dê o domínio das funções abaixo:
    f(x)=raizx^3-3 x^2+3 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para a gente encontrar o domínio da função $ f(x) = \sqrt{x^{3} - 3x^{2} + 3x} $. O domínio de uma função é basicamente todos os valores de $ x $ que fazem a função funcionar direitinho, sem problemas como dividir por zero ou tirar raiz de número negativo. Hoje, vamos focar em garantir que tudo dentro da raiz quadrada fique maior ou igual a zero para que a função seja válida.

Passo 2

Primeiro, sabemos que dentro da raiz quadrada tem que ser um número não negativo. Então, vamos garantir que:
x^3 - 3x^2 + 3x >= 0
Agora, precisamos resolver essa desigualdade para descobrir para quais $ x $ isso é verdadeiro.

Passo 3

Vamos tentar fatorar a expressão para facilitar. Podemos tirar um $ x $ em comum:
x
Agora, temos dois fatores: $ x $ e $ x^{2} - 3x + 3 $. Precisamos analisar quando o produto deles é positivo ou zero.

Passo 4

Primeiro, vamos achar os zeros de cada fator:
  • Para $ x = 0 $, obvio, já temos um zero.
  • Para $ x^{2} - 3x + 3 = 0 $, usamos a fórmula de Bhaskara:
x = 0
Como temos a raiz quadrada de um número negativo, isso significa que não há soluções reais para essa equação. Ou seja, $ x^{2} - 3x + 3 $ nunca é zero e, na verdade, sempre é positivo porque o coeficiente de $ x^{2} $ é positivo.

Passo 5

Então, a desigualdade $ x(x^{2} - 3x + 3) \geq 0 $ depende apenas do sinal de $ x $, já que $ x^{2} - 3x + 3 $ é sempre positivo. Assim:
x(x^2 - 3x + 3) >= 0
Portanto, para que a expressão dentro da raiz seja não negativa, $ x $ precisa ser maior ou igual a zero.

Resposta

O domínio da função é todos os números reais maiores ou iguais a zero, ou seja:
x >= 0

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