Encontre a solução para as seguintes EDOs lineares de primeira ordem :
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear de primeira ordem:
com a condição inicial $ y(0) = 3 $.
Para resolver essa EDO, vamos usar o método das equações diferenciais lineares de primeira ordem, que envolve encontrar um fator integrante e aplicar a fórmula geral para obter a solução.
Passo 2
Vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
Comparando com a nossa equação:
Aqui, $ P(x) = -1 $ e $ Q(x) = 2 e^{x} $.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante $ \mu(x) $, que é dado por:
Substituindo $ P(x) = -1 $:
Passo 4
Multiplicamos todos os termos da equação diferencial original pelo fator integrante $ \mu(x) = e^{-x} $:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
A equação resultante pode ser escrita como a derivada do produto $ \mu(x) y $:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Agora, resolvemos para $ y $ multiplicando ambos os lados por $ e^{x} $:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial $ y(0) = 3 $ para encontrar o valor de $ C $:
Resposta
A solução da EDO é: