Encontre a solução para as seguintes EDOs lineares de primeira ordem :
y^prime-2 e^x=y, y(0)=3.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear de primeira ordem:
y' - 2 e^x = y
com a condição inicial $ y(0) = 3 $.
Para resolver essa EDO, vamos usar o método das equações diferenciais lineares de primeira ordem, que envolve encontrar um fator integrante e aplicar a fórmula geral para obter a solução.

Passo 2

Vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
y' + P(x) y = Q(x)
Comparando com a nossa equação:
y' - y = 2 e^x
Aqui, $ P(x) = -1 $ e $ Q(x) = 2 e^{x} $.

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante $ \mu(x) $, que é dado por:
mu(x)
Substituindo $ P(x) = -1 $:
mu(x) = e^integral P(x) dx

Passo 4

Multiplicamos todos os termos da equação diferencial original pelo fator integrante $ \mu(x) = e^{-x} $:
mu(x) = e^-x
Simplificando o lado direito:
e^-x y' - e^-x y = 2 e^-x e^x

Passo 5

A equação resultante pode ser escrita como a derivada do produto $ \mu(x) y $:
mu(x) y

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
x
e^-x y = integral 2 , dx
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos para $ y $ multiplicando ambos os lados por $ e^{x} $:
y

Passo 8

Aplicamos a condição inicial $ y(0) = 3 $ para encontrar o valor de $ C $:
y(0) = 3
C
3 = e^0 (2 cdot 0 + C)

Resposta

A solução da EDO é:
y = e^x (2x + 3)

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