Encontre a solução para as seguintes EDOs lineares de segunda ordem.
y^prime prime-2 y^prime+5 y=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial de segunda ordem:
y'' - 2y' + 5y = 0
Essa é uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método das equações características, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, montamos a equação característica associada à EDO. A gente substitui cada derivada por potências de $ r $:
r
Essa é uma equação quadrática que vamos resolver para encontrar os valores de $ r $.

Passo 3

Vamos resolver a equação quadrática $ r^2 - 2r + 5 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
r^2 - 2r + 5 = 0
Aqui, o discriminante ($ \Delta = -16 $) é negativo, o que indica que as raízes serão complexas.

Passo 4

Como o discriminante é negativo, temos raízes complexas da forma:
r = 1 pm 2i
Onde $ 1 $ é a parte real e $ 2i $ é a parte imaginária.

Passo 5

Quando temos raízes complexas $ r = \alpha \pm \beta i $, a solução geral da EDO é dada por:
r = alpha pm beta i
No nosso caso, $ \alpha = 1 $ e $ \beta = 2 $, então substituímos na fórmula.

Passo 6

Substituindo os valores de $ \alpha $ e $ \beta $, a solução geral fica:
alpha
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais, se houver.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = e^x ( C1 cos(2x) + C2 sin(2x) )

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