Encontre a solução para as seguintes EDOs lineares de primeira ordem :
-y^prime=3 y-6 x.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear de primeira ordem:
-y' = 3y - 6x
Aqui, estamos trabalhando com EDOs lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação e usar um método padrão para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão das EDOs lineares:
y' + P(x)y = Q(x)
Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação original por -1:
-1 cdot (-y') = -1 cdot (3y - 6x)
Isso simplifica para:
y' + 3y = 6x
Agora, a equação está no formato padrão onde P(x) = 3 e Q(x) = 6x.

Passo 3

Em seguida, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a resolver a EDO. O fator integrante ( mu(x)) é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Substituindo P(x) = 3:
mu(x) = e^integral 3 , dx = e^3x

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante mu(x):
e^3x y' + 3e^3x y = 6x e^3x
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto mu(x) y. Então, podemos reescrever a equação como:
ddx (e^3x y) = 6x e^3x

Passo 5

Para encontrar y, integramos ambos os lados da equação em relação a x:
integral ddx (e^3x y) , dx = integral 6x e^3x , dx
A integral do lado esquerdo simplifica para:
e^3x y = integral 6x e^3x , dx + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral integral 6x e^3x , dx. Usamos a integração por partes, onde:
  • u = 6x Rightarrow du = 6 , dx,
  • dv = e^3x dx Rightarrow v = 13 e^3x.
Aplicando a fórmula de integração por partes ( integral u , dv = uv - integral v , du):
integral 6x e^3x , dx = 6x cdot 13 e^3x - integral 13 e^3x cdot 6 , dx
Simplificando:
= 2x e^3x - 2 integral e^3x , dx
= 2x e^3x - 23 e^3x + C

Passo 7

Voltando à equação anterior:
e^3x y = 2x e^3x - 23 e^3x + C
Agora, isolamos y dividindo ambos os lados por e^3x:
y = 2x - 23 + C e^-3x

Resposta

A solução geral da EDO é:
y(x) = 2x - 23 + C e^-3x,
onde C é uma constante arbitrária.

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