Encontre a solução para as seguintes EDOs lineares de primeira ordem :
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear de primeira ordem:
Aqui, estamos trabalhando com EDOs lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação e usar um método padrão para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão das EDOs lineares:
Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação original por
:
Isso simplifica para:
Agora, a equação está no formato padrão onde
e
.
Passo 3
Em seguida, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a resolver a EDO. O fator integrante (
) é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Então, podemos reescrever a equação como:
Passo 5
Para encontrar
, integramos ambos os lados da equação em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral
. Usamos a integração por partes, onde:
-
, -
.
Aplicando a fórmula de integração por partes (
):
Simplificando:
Passo 7
Voltando à equação anterior:
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
é uma constante arbitrária.