Encontre a solução para as seguintes EDOs utilizando o método da separação de variáveis:
d yd x=x3 y, y<0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da separação de variáveis. A equação que temos é dydx = x3y, e a condição é que y < 0. Pra resolver, vamos separar os termos que envolvem y de um lado e os que envolvem x do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados da equação por 3y para isolar os termos:
3y cdot dydx = x

Passo 3

Agora, reescrevemos a equação para separar as variáveis:
3y , dy = x , dx

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação:
integral 3y , dy = integral x , dx

Passo 5

Calculando as integrais:
32y^2 = 12x^2 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
3y^2 = x^2 + C'
onde C' = 2C.

Passo 7

Resolvendo para y, isolamos y^2:
y^2 = x^2 + C'3

Passo 8

Como y < 0, tomamos a raiz negativa:
y = -raizx^2 + C'3

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = -raizx^2 + C3
onde C é uma constante real.

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