Encontre a solução das seguintes equações diferenciais:
\cos x d y-\left(y \operatorname{sen} x-x^{2}\right) d x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial \cos x\,dy - \bigl(y\operatorname{sen} x - x^{2}\bigr)\,dx = 0.
O conteúdo aqui é de equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos reescrever no formato
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,
testar a exatidão e, em seguida, encontrar uma função potencial \Psi(x,y).

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = -\bigl(y\operatorname{sen} x - x^{2}\bigr) = x^{2} - y\operatorname{sen} x, \quad N(x,y) = \cos x.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = -\operatorname{sen} x, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = -\operatorname{sen} x.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x} = M(x,y) = x^{2} - y\operatorname{sen} x.
Integramos em relação a x:
\Psi(x,y) = \int\bigl(x^{2} - y\operatorname{sen} x\bigr)\,dx = \frac{x^{3}}{3} + y\cos x + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y.

Passo 4

Agora impomos
\frac{\partial \Psi}{\partial y} = N(x,y) = \cos x.
Por outro lado,
\frac{\partial \Psi}{\partial y} = \cos x + h'(y).
Igualando, temos h'(y)=0, logo h(y) é constante.

Passo 5

A solução geral implícita é dada por
\Psi(x,y) = \frac{x^{3}}{3} + y\cos x = C,
com C constante arbitrária.

Resposta

\frac{x^{3}}{3} + y\cos x = C.

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