Encontre a solução das seguintes equações diferenciais:
\frac{d y}{d x}=7 x^{2}+8 se x=1 e y=0

Passo 1

O enunciado dá uma EDO de primeira ordem \displaystyle \frac{dy}{dx}=7x^{2}+8
com a condição inicial x=1 e y=0. Para resolver, vamos integrar em x e depois usar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Integrando ambos os lados em relação a x, obtemos
y(x)=\int\bigl(7x^{2}+8\bigr)\,dx =7\int x^{2}\,dx+8\int dx =7\cdot\frac{x^{3}}{3}+8x+C =\frac{7}{3}x^{3}+8x+C.

Passo 3

Aplicamos a condição y(1)=0 para encontrar C:
0=\frac{7}{3}\cdot1^{3}+8\cdot1+C =\frac{7}{3}+8+C =\frac{7+24}{3}+C =\frac{31}{3}+C,
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C=-\frac{31}{3}.

Resposta

\boxed{y(x)=\frac{7}{3}x^{3}+8x-\frac{31}{3}}

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