Encontre a solução das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede a solução geral. Reconhecemos que é uma equação da forma
. Vamos verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que
e
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais para checar a exatidão:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos
satisfazendo
Integramos em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
.
Passo 4
Para determinar
, usamos a condição
Por outro lado,
Comparando com
, vemos que
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos a função potencial completa
A solução geral da equação diferencial exata é dada por
onde
é constante arbitrária.