Encontre a solução das seguintes equações diferenciais:
\left(x y^{2}+y^{3}+\operatorname{sen} x\right) d x+\left(3 x y^{2}+x^{2} y+e^{y}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\bigl(x\,y^{2}+y^{3}+\sin x\bigr)\,dx \;+\;\bigl(3x\,y^{2}+x^{2}y+e^{y}\bigr)\,dy=0
e pede a solução geral. Reconhecemos que é uma equação da forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0. Vamos verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial \Phi(x,y) tal que \partial\Phi/\partial x=M e \partial\Phi/\partial y=N.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais para checar a exatidão:
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,y^{2}+y^{3}+\sin x\bigr) =2x\,y+3y^{2},
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x\,y^{2}+x^{2}y+e^{y}\bigr) =3y^{2}+2x\,y.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos \Phi(x,y) satisfazendo
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = M(x,y) = x\,y^{2}+y^{3}+\sin x.
Integramos em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y) =\int\bigl(x\,y^{2}+y^{3}+\sin x\bigr)\,dx =\frac{x^{2}y^{2}}{2}+x\,y^{3}-\cos x + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 4

Para determinar h(y), usamos a condição
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = N(x,y) =3x\,y^{2}+x^{2}y+e^{y}.
Por outro lado,
\frac{\partial \Phi}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{x^{2}y^{2}}{2}+x\,y^{3}-\cos x + h(y)\Bigr) =x^{2}y+3x\,y^{2}+h'(y).
Comparando com N(x,y), vemos que
h'(y)=e^{y} \quad\Longrightarrow\quad h(y)=e^{y}.

Passo 5

Substituindo h(y) em \Phi, obtemos a função potencial completa
\Phi(x,y) =\frac{x^{2}y^{2}}{2}+x\,y^{3}-\cos x + e^{y}.
A solução geral da equação diferencial exata é dada por
\Phi(x,y)=C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

\frac{x^{2}y^{2}}{2}+x\,y^{3}-\cos x + e^{y}=C.

Exercícios relacionados