Encontre uma solução para as seguintes equações diferenciais que passem pelos pontos indicados.
x d yd x=y^2-y
(-1,2)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
xdydx = y^2 - y
e pede a solução que passa por (-1,2).
O conteúdo aqui é equação separável; vamos usar separação de variáveis e depois aplicar condição inicial.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
dydx = y(y-1)x Longrightarrow 1y(y-1),dy = 1x,dx
Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais:
1y(y-1) = -1y + 1y-1
Integrando ambos os lados, obtemos
integral1y(y-1),dy = integrall(-1y+1y-1r)dy = -ln|y| + ln|y-1| = lnl|y-1yr|
e
integral 1x,dx = ln|x| + C
Logo
lnl|y-1yr| = ln|x| + C

Passo 3

Exponenciando, definimos uma constante K=e^C e obtemos
y-1y = K,x
Isolando y:
1 - 1y = Kx Longrightarrow 1y = 1 - Kx Longrightarrow y = 11 - Kx
Usamos a condição y(-1)=2:
2 = 11 - K(-1) = 11 + K Longrightarrow 1 + K = tfrac12 Longrightarrow K = -tfrac12

Passo 4

Substituindo K=-tfrac12 em y=11-Kx, obtemos
y(x) = 11 + tfrac12 x = 22 + x

Resposta

y(x) = 2x+2

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