Encontre uma solução para as seguintes equações diferenciais que passem pelos pontos indicados.
d yd x-y=-9
(0,3)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma solução de dydx-y=-9 que passe por (0,3). Esse é um problema de equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão dydx+p(x),y=q(x). Aqui p(x)=-1 e q(x)=-9. O fator integrante é
mu(x)=e^integral p(x),dx=e^integral -1,dx=e^-x

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(x) e obtemos
e^-xdydx-e^-xy=-9e^-x
O lado esquerdo corresponde à derivada do produto y,e^-x, logo
ddxl(y,e^-xr)=-9e^-x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
y,e^-x=integral -9e^-x,dx=9e^-x+C,
onde C é a constante de integração. Desse modo,
y=9+Ce^x

Passo 5

Usamos a condição inicial y(0)=3. Substituindo:
3=9+Ccdot e^0=9+C Longrightarrow C=-6
Logo, a solução procurada é
y(x)=9-6e^x

Resposta

y(x)=9-6e^x

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