Encontre uma solução para as seguintes equações diferenciais que passem pelos pontos indicados.
d yd x-y=-9
(0,0)

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial de primeira ordem: dydx - y = -9. O objetivo aqui é encontrar a função y(x) que resolve essa equação e passa pelo ponto (0, 0). Para isso, vamos usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares:
dydx + P(x) , y = Q(x)
No nosso caso, comparando com dydx - y = -9, vemos que:
P(x) = -1 e Q(x) = -9

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante mu(x), que é essencial para resolver esse tipo de equação. O fator integrante é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) , dx
Substituindo P(x) = -1:
mu(x) = e^integral -1 , dx = e^-x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(x):
e^-x dydx - e^-x y = -9 e^-x
Isso transforma a equação em:
ddx ( e^-x y ) = -9 e^-x
Aí, percebemos que o lado esquerdo é a derivada do produto e^-x y.

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddx ( e^-x y ) , dx = integral -9 e^-x , dx
Simplificando as integrais:
e^-x y = 9 e^-x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Para isolar y, multiplicamos ambos os lados por e^x:
y = 9 + C e^x

Passo 7

Finalmente, aplicamos a condição inicial y(0) = 0 para encontrar o valor de C:
0 = 9 + C e^0 0 = 9 + C C = -9

Resposta

A solução da equação diferencial que passa pelo ponto (0, 0) é:
y(x) = 9 - 9 e^x

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