Encontre uma solução para as seguintes equações diferenciais que passem pelos pontos indicados.
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial de primeira ordem:
. O objetivo aqui é encontrar a função
que resolve essa equação e passa pelo ponto
. Para isso, vamos usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares:
No nosso caso, comparando com
, vemos que:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é essencial para resolver esse tipo de equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso transforma a equação em:
Aí, percebemos que o lado esquerdo é a derivada do produto
.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Simplificando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para isolar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 7
Finalmente, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
A solução da equação diferencial que passa pelo ponto
é: