Encontre uma solução singular para cada uma das seguintes equações diferenciais:
d yd x=x y^-1 e^-y sin x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial bem interessante:
dydx = x cdot y^-1 cdot e^-y cdot sin x
Estamos no campo das equações diferenciais, mais especificamente procurando por uma solução singular dessa equação. Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como manipular equações diferenciais e identificar soluções que não pertencem à família geral de soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a equação para torná-la mais fácil de resolver. Podemos reescrever a equação como:
dydx = x cdot e^-y cdot sin xy
Isso nos ajuda a ver melhor como as variáveis estão relacionadas.

Passo 3

Agora, percebemos que essa é uma equação diferencial de variáveis separáveis, o que significa que conseguimos separar os termos que envolvem y dos que envolvem x . Vamos fazer isso:
y cdot e^y , dy = x cdot sin x , dx
Aqui, multiplicamos ambos os lados por y cdot e^y para separar as variáveis.

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. Vamos integrar o lado esquerdo em relação a y e o lado direito em relação a x :
integral y cdot e^y , dy = integral x cdot sin x , dx
Isso nos leva a resolver duas integrais diferentes.

Passo 5

Vamos começar pela integral do lado esquerdo:
integral y cdot e^y , dy
Aqui, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos u = y e dv = e^y , dy . Assim, temos du = dy e v = e^y . Aplicando a fórmula:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Portanto:
y cdot e^y - integral e^y , dy = y cdot e^y - e^y + C
Simplificando:
e^y(y - 1) + C

Passo 6

Agora, vamos para a integral do lado direito:
integral x cdot sin x , dx
Novamente, usamos a integração por partes. Escolhemos u = x e dv = sin x , dx . Assim, du = dx e v = -cos x . Aplicando a fórmula:
x cdot (-cos x) - integral (-cos x) , dx = -x cos x + integral cos x , dx
Integrando cos x :
-x cos x + sin x + C

Passo 7

Agora, igualamos as integrais dos dois lados da equação:
e^y(y - 1) = -x cos x + sin x + C
Para simplificar, podemos escrever a constante de integração do lado direito como C , já que as constantes podem ser combinadas.

Passo 8

Para encontrar a solução singular, precisamos identificar a condição onde a solução geral não se aplica. Geralmente, isso ocorre onde a derivada da solução geral em relação à constante de integração C é zero.
Derivando ambos os lados em relação a C :
ddC[e^y(y - 1)] = 0 Rightarrow e^y(y - 1) = 0
Isso acontece quando y - 1 = 0 , ou seja, y = 1 .

Resposta

A solução singular da equação diferencial dada é:
y = 1

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