Encontre uma solução singular para cada uma das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial bem interessante:
Estamos no campo das equações diferenciais, mais especificamente procurando por uma solução singular dessa equação. Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como manipular equações diferenciais e identificar soluções que não pertencem à família geral de soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a equação para torná-la mais fácil de resolver. Podemos reescrever a equação como:
Isso nos ajuda a ver melhor como as variáveis estão relacionadas.
Passo 3
Agora, percebemos que essa é uma equação diferencial de variáveis separáveis, o que significa que conseguimos separar os termos que envolvem
dos que envolvem
. Vamos fazer isso:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por
para separar as variáveis.
Passo 4
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. Vamos integrar o lado esquerdo em relação a
e o lado direito em relação a
:
Isso nos leva a resolver duas integrais diferentes.
Passo 5
Vamos começar pela integral do lado esquerdo:
Aqui, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos
e
. Assim, temos
e
. Aplicando a fórmula:
Portanto:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos para a integral do lado direito:
Novamente, usamos a integração por partes. Escolhemos
e
. Assim,
e
. Aplicando a fórmula:
Integrando
:
Passo 7
Agora, igualamos as integrais dos dois lados da equação:
Para simplificar, podemos escrever a constante de integração do lado direito como
, já que as constantes podem ser combinadas.
Passo 8
Para encontrar a solução singular, precisamos identificar a condição onde a solução geral não se aplica. Geralmente, isso ocorre onde a derivada da solução geral em relação à constante de integração
é zero.
Derivando ambos os lados em relação a
:
Isso acontece quando
, ou seja,
.
Resposta
A solução singular da equação diferencial dada é: