Encontre a solução dos seguintes P.V.I.
\left\{\begin{array}{l}x d x+y e^{-x} d y=0 \\\ y(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O P.V.I. dado é
x\,dx + y\,e^{-x}\,dy = 0, \qquad y(0)=1.
O conteúdo envolve resolução de equação diferencial via separação de variáveis.

Passo 2

Observamos que podemos eliminar o fator e^{-x} dividindo ambos os lados por ele (que é nunca nulo), obtendo
x\,e^x\,dx + y\,dy = 0.
Agora as variáveis estão separadas: os termos em x estão em x\,e^x\,dx e os em y em y\,dy.

Passo 3

Separamos e integramos:
y\,dy = -\,x\,e^x\,dx
\int y\,dy = \int -\,x\,e^x\,dx.
À esquerda vem
\int y\,dy = \frac{y^2}{2},
e à direita, por partes,
\int x\,e^x\,dx = x\,e^x - \int e^x\,dx = x\,e^x - e^x,
logo
\int -\,x\,e^x\,dx = -\,\bigl(x\,e^x - e^x\bigr) = -\,x\,e^x + e^x.
Assim
\frac{y^2}{2} = -\,x\,e^x + e^x + C.

Passo 4

Usamos y(0)=1. Para x=0, y=1, temos
\frac{1^2}{2} = -0\cdot e^0 + e^0 + C \quad\Longrightarrow\quad \frac12 = 1 + C \quad\Longrightarrow\quad C = -\tfrac12.
Substituindo em \tfrac{y^2}{2} = -\,x\,e^x + e^x + C e multiplicando por 2, vem
y^2 = -2\,x\,e^x + 2\,e^x - 1 = 2\,e^x\,(1 - x) - 1.

Passo 5

Isolando y,
y(x) = \pm \sqrt{\,2\,e^x\,(1 - x) - 1\,}.
Como y(0)=1>0, escolhemos o sinal positivo.

Resposta

y(x) = \sqrt{\,2\,e^x\,(1 - x) - 1\,}.

Exercícios relacionados