• Encontre a solução dos seguintes problemas de corda com extremidades fixas:
    a) u_{t}=4 u_{x x}, \operatorname{em}(0,1) \times(0, \infty);
\begin{aligned} & u(0, t)=u(1, t)=0, t \geq 0 \\\ & u(x, 0)=\sin (2 \pi x), \quad x \in[0,1] \\\ & u_{t}(x, 0)=x^{2}-x, \quad x \in[0,1] \end{aligned}

Passo 1

O enunciado trata do problema de corda fixa em x=0 e x=1 descrito pela equação da onda
u_{tt}=4\,u_{xx},\quad 0<x<1,\;t>0
com as condições de contorno
u(0,t)=u(1,t)=0
e as condições iniciais
u(x,0)=\sin(2\pi x),\quad u_{t}(x,0)=x^{2}-x.
Para resolver, vamos usar separação de variáveis e expandir em série de senos de frequência \omega_{n}=2n\pi.

Passo 2

Pela separação de variáveis e pelas condições de contorno, a solução geral é
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(A_{n}\cos(2n\pi t)+B_{n}\sin(2n\pi t)\Bigr)\,\sin(n\pi x).
Aqui \sin(n\pi x) são os autofunções espaciais e 2n\pi são as frequências temporais.

Passo 3

Impondo u(x,0)=\sin(2\pi x), obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\sin(n\pi x)=\sin(2\pi x).
Como a série de Fourier de \sin(2\pi x) envolve apenas o termo n=2, concluímos
A_{2}=1 \quad\text{e}\quad A_{n}=0\quad(n\neq2).

Passo 4

Impondo u_{t}(x,0)=x^{2}-x, temos
u_{t}(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\,(2n\pi)\,\sin(n\pi x)=x^{2}-x.
Para cada n, o coeficiente de \sin(n\pi x) na série de x^{2}-x é
C_{n}=2\int_{0}^{1}(x^{2}-x)\,\sin(n\pi x)\,dx,
e como C_{n}=B_{n}(2n\pi), segue
B_{n}=\frac{1}{2n\pi}\;2\int_{0}^{1}(x^{2}-x)\,\sin(n\pi x)\,dx =\frac{1}{n\pi}\int_{0}^{1}(x^{2}-x)\,\sin(n\pi x)\,dx.

Passo 5

Calculamos
I_{n}=\int_{0}^{1}(x^{2}-x)\,\sin(n\pi x)\,dx
por partes (duas vezes) e obtemos
I_{n} =\frac{\sin(n\pi)}{(n\pi)^{2}} +\frac{2\bigl(\cos(n\pi)-1\bigr)}{(n\pi)^{3}} =0+\frac{2\bigl((-1)^{n}-1\bigr)}{(n\pi)^{3}}.
Logo
B_{n} =\frac{1}{n\pi}\,\frac{2\bigl((-1)^{n}-1\bigr)}{(n\pi)^{3}} =\frac{2\bigl((-1)^{n}-1\bigr)}{n^{4}\,\pi^{4}}.

Resposta

A solução do problema é
\boxed{ u(x,t) =\sin(2\pi x)\,\cos(4\pi t) +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\bigl((-1)^{n}-1\bigr)}{n^{4}\,\pi^{4}}\, \sin(2n\pi t)\,\sin(n\pi x) }.

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