• Encontre a solução dos seguintes problemas de corda infinita:
    c) u_{t t}=u_{x x}, x \in \mathbb{R}, t \in(0, \infty);
    u(x, 0)=\sin x, \quad x \in \mathbb{R} ;
    u_{t}(x, 0)=\cos x, \quad x \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação da onda
u_{t t}=\nu_{x x},\quad x\in\mathbb{R},\;t>0
com condições iniciais
u(x,0)=\sin x,\quad \nu_t(x,0)=\cos x.
O conteúdo usado será o método de d’Alembert para corda infinita.

Passo 2

A solução geral de d’Alembert, para velocidade de propagação c=1, é
u(x,t)=\frac{1}{2}\bigl(f(x+t)+f(x-t)\bigr) +\frac{1}{2}\int_{x-t}^{x+t}g(s)\,ds,
onde f(x)=\nu(x,0) e g(x)=\nu_t(x,0). Aqui f(x)=\sin x e g(x)=\cos x.

Passo 3

Calculamos a média de f:
f(x+t)+f(x-t) =\sin(x+t)+\sin(x-t) =2\sin x\cos t,
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\frac{1}{2}\bigl(f(x+t)+f(x-t)\bigr) =\sin x\cos t.

Passo 4

Agora a integral de g:
\int_{x-t}^{x+t}\cos s\,ds =\sin(x+t)-\sin(x-t) =2\cos x\sin t,
portanto
\frac{1}{2}\int_{x-t}^{x+t}g(s)\,ds =\cos x\sin t.

Passo 5

Somando as duas parcelas de d’Alembert, obtemos
u(x,t)=\sin x\cos t+\cos x\sin t =\sin(x+t).

Resposta

u(x,t)=\sin(x+t).

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