• Encontre a solução dos seguintes problemas de corda infinita:
    b) u_{t t}=u_{x x}, x \in \mathbb{R}, t \in(0, \infty);
\begin{aligned} & u(x, 0)=x^{2}+5, \quad x \in \mathbb{R} & u_{t}(x, 0)=x^{3}, \quad x \in \mathbb{R} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação da onda
u_{tt} = \nu_{xx},\quad x\in\mathbb{R},\;t>0,
com condições iniciais
u(x,0)=x^2+5,\quad \nu_t(x,0)=x^3.
O método clássico aqui é a fórmula de d’Alembert para corda infinita, que expressa \nu(x,t) em função de
f(x)=\nu(x,0)\quad\text{e}\quad g(x)=\nu_t(x,0).

Passo 2

A fórmula de d’Alembert para velocidade de propagação c=1 afirma que
\nu(x,t) =\frac{f(x+t)+f(x-t)}{2} +\frac{1}{2}\int_{x-t}^{\,x+t}g(s)\,ds.
Aqui temos f(x)=x^2+5 e g(x)=x^3.

Passo 3

Calculamos primeiro a média das condições iniciais:
\frac{f(x+t)+f(x-t)}{2} =\frac{(x+t)^2+5 + (x-t)^2+5}{2} =\frac{2x^2+2t^2+10}{2} =x^2 + t^2 + 5.

Passo 4

Agora a integral da condição de velocidade:
\frac{1}{2}\int_{x-t}^{x+t}s^3\,ds =\frac{1}{2}\Bigl[\frac{s^4}{4}\Bigr]_{x-t}^{\,x+t} =\frac{(x+t)^4-(x-t)^4}{8}.
Para expandir a diferença usamos
(a+b)^4-(a-b)^4 =8a^3b+8ab^3,
com a=x e b=t, obtendo
\frac{(x+t)^4-(x-t)^4}{8} =x^3t + x\,t^3.

Passo 5

Somando as duas partes da fórmula de d’Alembert, achamos
\nu(x,t) =\bigl(x^2+t^2+5\bigr) + \bigl(x^3t + x\,t^3\bigr).

Resposta

u(x,t) = x^2 + t^2 + 5 + x^3\,t + x\,t^3.

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