• Encontre a solução dos seguintes problemas de corda com extremidades fixas:
    u_{t t}=u_{x x}, em (0,1) \times(0, \infty);
\begin{aligned} & u(0, t)=u(1, t)=0, \quad t \geq 0 \\\ & u(x, 0)=x^{4}-2 x^{3}+x, \quad x \in[0,1] \\\ & u_{t}(x, 0)=0 \quad x \in[0,1] . \end{aligned}

Passo 1

O problema é a equação da onda unidimensional com extremidades fixas em (0,1):\r
\begin{cases}\r u_{tt}=u_{xx},&(x,t)\in(0,1)\times(0,\infty),\\\ u(0,t)=0,\;u(1,t)=0,&t\ge0,\\\ u(x,0)=x^4-2x^3+x,&x\in[0,1],\\\ u_t(x,0)=0,&x\in[0,1].\r \end{cases}\r
O método clássico é usar separação de variáveis e expandir em série de senos (séries de Fourier senoidais).

Passo 2

Pela separação de variáveis, a solução geral que satisfaz as condições de contorno é\r
\displaystyle u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(A_n\cos(n\pi t)+B_n\sin(n\pi t)\Bigr)\sin(n\pi x).\r
Como a condição inicial de velocidade é u_t(x,0)=0, segue B_n=0 para todo n. Logo\r
\displaystyle u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n\cos(n\pi t)\,\sin(n\pi x).

Passo 3

Para satisfazer u(x,0)=x^4-2x^3+x, comparamos\r
\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin(n\pi x)=x^4-2x^3+x\r
e usamos a fórmula dos coeficientes da série de Fourier senoidal:\r
\displaystyle A_n=2\int_{0}^{1}\bigl(x^4-2x^3+x\bigr)\sin(n\pi x)\,dx.

Passo 4

Calcula-se a integral por partes repetidas (ou usando tabelas) e obtém-se\r
\displaystyle \int_{0}^{1}\bigl(x^4-2x^3+x\bigr)\sin(n\pi x)\,dx\r =\frac{24}{n^5\pi^5}\bigl(1-(-1)^n\bigr).

Passo 5

Logo\r
\displaystyle A_n=2\cdot\frac{24}{n^5\pi^5}\bigl(1-(-1)^n\bigr)\r =\frac{48}{n^5\pi^5}\bigl(1-(-1)^n\bigr).\r
Note que 1-(-1)^n zera para n par, de modo que só termos ímpares aparecem.

Passo 6

Portanto a solução final é\r
\displaystyle u(x,t)\r =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{48\bigl(1-(-1)^n\bigr)}{n^5\pi^5}\cos(n\pi t)\,\sin(n\pi x)\r =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{96}{(2k+1)^5\pi^5}\cos\bigl((2k+1)\pi t\bigr)\,\sin\bigl((2k+1)\pi x\bigr).

Resposta

\displaystyle u(x,t)\r =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{96}{(2k+1)^5\pi^5}\cos\bigl((2k+1)\pi t\bigr)\,\sin\bigl((2k+1)\pi x\bigr).

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