• Encontre a solução dos seguintes problemas de corda com extremidades fixas:
    u_{t t}=9 u_{x x}, \operatorname{em}(0, \pi) \times(0, \infty);
\begin{aligned} & u(0, t)=u(\pi, t)=0, t \geq 0 \\\ & u(x, 0)=\sin (4 x), \quad x \in[0, \pi] \\\ & u_{t}(x, 0)=\sin (2 x), \quad x \in[0, \pi] \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação da onda
u_{t t} = 9\,u_{x x},
com x\in(0,\pi), t>0, condições de contorno
u(0,t)=u(\pi,t)=0
e condições iniciais
u(x,0)=\sin(4x), \quad u_{t}(x,0)=\sin(2x).
O conteúdo é separação de variáveis e desenvolvimento em série de senos.

Passo 2

Procuramos solução da forma
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(A_{n}\cos(\omega_{n}t)+B_{n}\sin(\omega_{n}t)\bigr)\sin(nx).
As autofunções em x satisfazem
X''+\lambda X=0,\quad X(0)=X(\pi)=0
com \lambda_{n}=n^{2} e X_{n}(x)=\sin(nx). O modo temporal satisfaz
T''+9\,n^{2}T=0,
logo \omega_{n}=3n.

Passo 3

Impondo u(x,0)=\sin(4x) obtemos
u(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\sin(nx)=\sin(4x).
Pela unicidade da expansão em senos, A_{4}=1 e todos os outros A_{n}=0.

Passo 4

Impondo u_{t}(x,0)=\sin(2x) calculamos
u_{t}(x,0) =\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\,\omega_{n}\sin(nx) =\sum_{n=1}^{\infty}3n\,B_{n}\sin(nx) =\sin(2x).
Assim, para n=2 vem 3\cdot2\,B_{2}=1, isto é B_{2}=\tfrac{1}{6}, e B_{n}=0 para n\neq2.

Passo 5

Substituindo os coeficientes não nulos no somatório, a solução fica
u(x,t) =\underbrace{1}_{A_{4}}\cos(3\cdot4\,t)\,\sin(4x) +\underbrace{\tfrac{1}{6}}_{B_{2}}\sin(3\cdot2\,t)\,\sin(2x),
logo
u(x,t)=\sin(4x)\cos(12t)+\tfrac{1}{6}\,\sin(2x)\sin(6t).

Resposta

u(x,t)=\sin(4x)\cos(12t)+\frac{1}{6}\,\sin(2x)\sin(6t).

Exercícios relacionados