Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e elabore um gráfico da função resposta obtida:
t y^prime+2 y=t^2-t+1 y(1)=1 / 2, t>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de 1ª ordem t,y'+2y=t^2-t+1 com condição inicial y(1)=1/2, para t>0. O conteúdo aqui é “equação diferencial linear” e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro vamos pôr a equação na forma padrão y'+P(t)y=Q(t). Dividindo ambos os lados por t (que é positivo):
y'+2ty = t - 1 + 1t

Passo 3

Em uma EDO linear, o fator integrante é
[\mu(t)=\exp\Bigl(\int P(t),dt\Bigr)=\exp\Bigl(\int \frac{2}{t},dt\Bigr)=\exp(2\ln t)=t^2.

Passo 4

Multiplicamos a equação por mu(t)=t^2. Isso nos dá
t^2y' + 2t y = t^3 - t^2 + t
O lado esquerdo é (t^2y)', então
(t^2y)' = t^3 - t^2 + t

Passo 5

Agora integramos ambos os lados:
t^2y = integral (t^3 - t^2 + t),dt = t^44 - t^33 + t^22 + C

Passo 6

Isolando y:
y(t)=t^4/4 - t^3/3 + t^2/2 + Ct^2 = t^24 - t3 + 12 + C,t^-2
Usando y(1)=1/2 achamos
12 = 14 - 13 + 12 + C implies C=112

Passo 7

A solução particular fica
$$y(t)=\frac{t^2}{4} - \frac{t}{3} + \frac12 + \frac{1}{12,t^2}.
$$
Para o gráfico, notamos que quando y(t)=t^24 - t3 + 12 + 112,t^2 e tto0^+ a solução dispara para +∞, e há um mínimo em tto+infty com t=1.

Passo 8

Esboço do gráfico: a curva tende a +∞ perto de t=0, desce até o ponto (1,1/2) e depois cresce quadráticamente.

Resposta

A solução do PVI é
$$y(t)=\frac{t2}{4}-\frac{t}{3}+\frac12+\frac{1}{12,t2}.
$$
O gráfico tem comportamento assintótico y(t)=t^24-t3+12+112,t^2 quando yto+infty e tto0^+, com mínimo em tto+infty.

Exercícios relacionados