Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e elabore um gráfico da função resposta obtida:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear de 1ª ordem
com condição inicial
, para
. O conteúdo aqui é “equação diferencial linear” e vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro vamos pôr a equação na forma padrão
. Dividindo ambos os lados por
(que é positivo):
Passo 3
Em uma EDO linear, o fator integrante é
[\mu(t)=\exp\Bigl(\int P(t),dt\Bigr)=\exp\Bigl(\int \frac{2}{t},dt\Bigr)=\exp(2\ln t)=t^2.
Passo 4
Multiplicamos a equação por
. Isso nos dá
O lado esquerdo é
Passo 5
Agora integramos ambos os lados:
Passo 6
Isolando
:
Usando
Passo 7
A solução particular fica
$$y(t)=\frac{t^2}{4} - \frac{t}{3} + \frac12 + \frac{1}{12,t^2}.
$$
Para o gráfico, notamos que quando e
a solução dispara para +∞, e há um mínimo em
com
.
Para o gráfico, notamos que quando
Passo 8
Esboço do gráfico: a curva tende a +∞ perto de
, desce até o ponto
e depois cresce quadráticamente.
Resposta
A solução do PVI é
$$y(t)=\frac{t2}{4}-\frac{t}{3}+\frac12+\frac{1}{12,t2}.
$$
O gráfico tem comportamento assintótico quando
e
, com mínimo em
.
O gráfico tem comportamento assintótico