Encontre a solução utilizando séries de potências:
y^prime prime-y=x, y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

Estamos resolvendo a EDO y''-y=x com y(0)=0 e y'(0)=1 usando séries de potências; vamos expandir y(x) em sumn=0^infty an x^n e achar recorrência para os coeficientes.

Passo 2

Assumimos y(x)=sumn=0^infty an x^n. Então
  • y'(x)=sumn=1^infty n,an x^n-1
  • y''(x)=sumn=2^infty n(n-1),an x^n-2.

Passo 3

Substituindo em y''-y=x e realinhando as potências:
sumn=0^inftyl((n+2)(n+1)an+2-anr)x^n= x=0cdot x^0+1cdot x^1+0cdot x^2+cdots

Passo 4

Para cada n>=0 igualamos coeficientes de x^n:
  • Para n=0: 2cdot1,a2 -a0=0 a2=tfraca02.
  • Para n=1: 3cdot2,a3 -a1=1 a3=tfraca1+16.
  • Para n>=2: (n+2)(n+1)an+2-an=0 an+2=an(n+2)(n+1).

Passo 5

As condições iniciais dão a0=y(0)=0 e a1=y'(0)=1. Então
  • a2=0,
  • a3=(1+1)/6=1/3,
  • a4=a2/(4·3)=0,
  • a5=a3/(5·4)=1/60,
    e assim por diante, toda a2k=0 e a2k+1 segue de a2k-1/((2k+1)(2k)).

Passo 6

Portanto
y(x)=a1x+a3x^3+a5x^5+cdots=x+tfracx^33+tfracx^560+cdots

Resposta

y(x)=x+tfracx^33+tfracx^560+cdots, que equivale à y(x)=2sinh(x)-x.

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