Resolva a equação:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes
Vamos usar a teoria de EDs lineares: primeiro achamos a solução homogênea, depois uma particular e, por fim, aplicamos as condições iniciais.
Passo 2
Para a parte homogênea, consideramos a equação característica associada
Fatorando, temos
cujas raízes são
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para a parte particular, como o termo não-homogêneo é
e
não é raiz da equação característica, tentamos
$$y_p(x) = A e^{-x}.
logo
. Portanto
Passo 4
A solução geral é a soma das duas partes:
Passo 5
Agora calculamos as derivadas de
e aplicamos as condições iniciais em
:
$$y’’(x) = C_2\Bigl(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\Bigr)^2 e^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}x} + C_3\Bigl(\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\Bigr)^2 e^{\frac{-1-\sqrt{5}}{2}x} + e^{-x}.
C_1 + C_2 + C_3 + 1 = 1,\
C_2\frac{-1+\sqrt{5}}{2} + C_3\frac{-1-\sqrt{5}}{2} -1 = 0,\
C_2\Bigl(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\Bigr)^2 + C_3\Bigl(\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\Bigr)^2 +1 = -1.
C_2\frac{-1+\sqrt{5}}{2} + C_3\frac{-1-\sqrt{5}}{2} -1 = 0,\
C_2\Bigl(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\Bigr)^2 + C_3\Bigl(\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\Bigr)^2 +1 = -1.
\end{cases}$$
Passo 6
Resolvendo esse sistema encontra-se
$$C_1 = 1,\quad C_2 = \frac{-5+\sqrt{5}}{10},\quad C_3 = \frac{-5-\sqrt{5}}{10}.
$$
Passo 7
Substituindo os valores de
na solução geral, obtemos a resposta final.