Resolva a equação:
y^(3)+y^prime prime-y^prime=e^-x, y(0)=1, y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes
y^(3) + y'' - y' = e^-x, y(0)=1,;y'(0)=0,;y''(0)=-1
Vamos usar a teoria de EDs lineares: primeiro achamos a solução homogênea, depois uma particular e, por fim, aplicamos as condições iniciais.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos a equação característica associada
r^3 + r^2 - r = 0
Fatorando, temos
r(r^2 + r - 1)=0,
cujas raízes são
r1 = 0, r2,3 = -1 pm raiz1+42 = -1 pm raiz52
Logo a solução homogênea é
yh(x) = C1 + C2 e^-1+raiz52x + C3 e^-1-raiz52x

Passo 3

Para a parte particular, como o termo não-homogêneo é e^-x e -1 não é raiz da equação característica, tentamos
$$y_p(x) = A e^{-x}.
yp(x) = A e^-x y_p’ = -A e^{-x},\quad y_p’’ = A e^{-x},\quad y_p^{(3)} = -A e^{-x}.
yp' = -A e^-x, yp'' = A e^-x, yp^(3) = -A e^-x á(-A + A - (-A))e^{-x} = A e^{-x} = e^{-x},$$
logo y^(3)+y''-y' = e^-x. Portanto
(-A + A - (-A))e^-x = A e^-x = e^-x,

Passo 4

A solução geral é a soma das duas partes:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 + C2 e^-1+raiz52x + C3 e^-1-raiz52x + e^-x

Passo 5

Agora calculamos as derivadas de y(x) e aplicamos as condições iniciais em x=0:
y'(x) = C2-1+raiz52e^-1+raiz52x + C3-1-raiz52e^-1-raiz52x - e^-x,
$$y’’(x) = C_2\Bigl(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\Bigr)^2 e^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}x} + C_3\Bigl(\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\Bigr)^2 e^{\frac{-1-\sqrt{5}}{2}x} + e^{-x}.
y''(x) = C2l(-1+raiz52r)^2 e^-1+raiz52x + C3l(-1-raiz52r)^2 e^-1-raiz52x + e^-x \begin{cases}
C_1 + C_2 + C_3 + 1 = 1,\
C_2\frac{-1+\sqrt{5}}{2} + C_3\frac{-1-\sqrt{5}}{2} -1 = 0,\
C_2\Bigl(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\Bigr)^2 + C_3\Bigl(\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\Bigr)^2 +1 = -1.
\end{cases}$$

Passo 6

Resolvendo esse sistema encontra-se
$$C_1 = 1,\quad C_2 = \frac{-5+\sqrt{5}}{10},\quad C_3 = \frac{-5-\sqrt{5}}{10}.
$$

Passo 7

Substituindo os valores de C1,C2,C3 na solução geral, obtemos a resposta final.

Resposta

y(x) = 1 + -5+raiz510,e^tfrac-1+raiz52x + -5-raiz510,e^tfrac-1-raiz52x + e^-x

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