Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial.
lt y^prime+2 y=t^2-t+1, t>0 y(1)=12

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear de 1ª ordem
t,y'(t)+2,y(t)=t^2 - t +1, t>0,
com condição inicial y(1)=tfrac12.
Para resolver, vamos pôr na forma padrão
y'(t)+P(t),y(t)=Q(t)
e usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo por t (pois t>0) obtemos
y'(t)+2t,y(t)=t - 1 + 1t
Aqui P(t)=2/t e Q(t)=t-1+1/t.

Passo 3

O fator integrante é
mu(t)=expl(integral P(t),dtr)=expl(integral 2t,dtr)=t^2

Passo 4

Multiplicando a EDO por mu(t) temos
t^2,y'(t)+2t,y(t)=t^2l(t-1+1tr) Longrightarrow ddtl(t^2,y(t)r)=t^3 - t^2 + t

Passo 5

Integramos ambos os lados:
t^2,y(t)=integrall(t^3 - t^2 + tr),dt =t^44-t^33+t^22+C
Logo
y(t) =1t^2l(tfract^44-tfract^33+tfract^22+Cr) =t^24-t3+12+C,t^-2

Passo 6

Usamos y(1)=tfrac12:
12 =14-13+12+C Longrightarrow C=112

Resposta

boxedy(t)=t^24-t3+12+112,t^2

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