Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial.
ly^prime-y=2 t e^2 t, y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de primeira ordem
y' - y = 2,t,e^2t,
sujeita à condição inicial y(0)=1. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Identificamos p(t)=-1 e g(t)=2,t,e^2t na forma y'+p(t),y=g(t). O fator integrante é
mu(t)=e^integral p(t),dt=e^integral -1,dt=e^-t
Multiplicando a EDO por mu(t), obtemos
e^-ty' - e^-ty = 2,t,e^2t,e^-t Longrightarrow ddtl(y,e^-tr)=2,t,e^t

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a t:
integral ddtl(y,e^-tr),dt = integral 2,t,e^t,dt
Pela fórmula de integração por partes com u=2t, dv=e^t,dt, vem
integral 2,t,e^t,dt =2t,e^t - integral 2,e^t,dt =2t,e^t - 2,e^t + C = e^tl(2t-2r)+C
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y,e^-t=e^tl(2t-2r)+C Longrightarrow y=e^2tl(2t-2r)+C,e^t

Passo 4

Usamos y(0)=1:
y(0)=e^0(2cdot0-2)+C,e^0=-2 + C = 1 Longrightarrow C=3

Passo 5

Substituindo C=3 em y=e^2t(2t-2)+C,e^t, obtemos a solução particular:
y(t)=e^2t(2t-2)+3,e^t

Resposta

y(t)=e^2tl(2t-2r)+3,e^t

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