Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial.
ly^prime+2 y=t e^-2 t, y(1)=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear de 1ª ordem
y' + 2y = t,e^-2t,
com condição inicial y(1)=0. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
mu(t) = e^integral 2,dt = e^2t
Multiplicando a equação por mu(t) fica
e^2ty' + 2e^2ty = t,
e o lado esquerdo é tfracddt(e^2ty).

Passo 3

Integramos ambos os lados:
ddt(e^2ty) = t Longrightarrow e^2ty = integral t,dt = t^22 + C
Logo a solução geral é
y = e^-2tl(t^22 + Cr)

Passo 4

Usamos y(1)=0:
0 = e^-2l(1^22 + Cr) Longrightarrow 12 + C = 0 Longrightarrow C = -12

Resposta

y(t) = e^-2tl(t^22 - 12r) = t^2 - 12,e^-2t

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