Questão 4. (1,75 ponto) Determine a solução particular de y^prime prime+7 y=x^2. Dica: Lembre-se que para essa EDO, a chução particular é um polinômio de grau 2.

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular da equação
y'' + 7y = x^2
Usamos o método dos coeficientes indeterminados para EDOs lineares com termo não homogêneo polinomial. Como o lado direito é um polinômio de grau 2 e a solução da homogênea não é polinomial, a solução particular será um polinômio de grau 2.

Passo 2

Assumimos a forma
yp(x) = Ax^2 + Bx + C
em que A, B e C são constantes a determinar.

Passo 3

Calculamos as derivadas de yp:
yp'(x) = 2Ax + B,
yp''(x) = 2A
Substituindo em y'' + 7y = x^2 temos
2A + 7l(Ax^2 + Bx + Cr) = x^2
Isso dá
7A,x^2 + 7B,x + l(2A + 7Cr) = x^2

Passo 4

Igualamos coeficientes dos polinômios em x:
7A = 1, 7B = 0, 2A + 7C = 0
Da primeira vem A = tfrac17. Da segunda, B = 0. E da terceira,
2cdot17 + 7C = 0 Longrightarrow C = -,249

Resposta

A solução particular é
yp(x) = 17,x^2 ;-;249

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