)uestão 5.
pontos
Resolva a equação
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial não-homogênea de segunda ordem
O conteúdo aqui é método de coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução geral da equação homogênea associada, depois buscamos uma solução particular para o termo não-homogêneo e, por fim, somamos tudo para obter a solução geral.
Passo 2
Vamos à parte homogênea
A equação característica é
logo
ou
. Assim
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular para a parte polinomial
. Como o lado direito é um polinômio de grau 1, tentamos
Então
e
Para que isto seja igual a
, igualamos coeficientes:
O termo
não aparece na expressão acima e pode ser absorvido em
, então escolhemos
. Logo
Passo 4
Agora a parte exponencial
. Tentamos
Calculando
Para ficar igual a
, precisamos de
Assim
Passo 5
A solução particular completa é
Portanto, a solução geral da equação não-homogênea é