)uestão 5. (2,5 pontos ) Resolva a equação y^prime prime+2 y^prime=2 x+3 e^x.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não-homogênea de segunda ordem
y'' + 2y' = 2x + 3e^x
O conteúdo aqui é método de coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução geral da equação homogênea associada, depois buscamos uma solução particular para o termo não-homogêneo e, por fim, somamos tudo para obter a solução geral.

Passo 2

Vamos à parte homogênea
y'' + 2y' = 0
A equação característica é
r^2 + 2r = 0 Longrightarrow r(r+2)=0,
logo r=0 ou r=-2. Assim
yh(x) = C1 e^0cdot x + C2 e^-2x = C1 + C2 e^-2x

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular para a parte polinomial 2x. Como o lado direito é um polinômio de grau 1, tentamos
yp1(x) = ax^2 + bx + c
Então
yp1' = 2a x + b, yp1'' = 2a,
e
yp1'' + 2yp1' = 2a + 2l(2a x + br) = 4a,x + (2a + 2b)
Para que isto seja igual a 2x, igualamos coeficientes:
4a = 2 implies a = tfrac12,
2a + 2b = 0 implies 1 + 2b = 0 implies b = -tfrac12
O termo c não aparece na expressão acima e pode ser absorvido em C1, então escolhemos c=0. Logo
yp1(x) = tfrac12 x^2 - tfrac12 x

Passo 4

Agora a parte exponencial 3e^x. Tentamos
yp2(x) = d,e^x
Calculando
yp2' = d,e^x, yp2'' = d,e^x,
yp2'' + 2yp2' = d,e^x + 2d,e^x = 3d,e^x
Para ficar igual a 3e^x, precisamos de
3d = 3 implies d = 1
Assim
yp2(x) = e^x

Passo 5

A solução particular completa é
yp(x) = yp1(x) + yp2(x) = tfrac12 x^2 - tfrac12 x + e^x
Portanto, a solução geral da equação não-homogênea é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 + C2 e^-2x + tfrac12 x^2 - tfrac12 x + e^x

Resposta

y(x) = C1 + C2 e^-2x + 12 x^2 - 12 x + e^x

Exercícios relacionados