Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial.
ly^prime-2 y=e^2 t, y(0)=2

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y' - 2y = e^2t, y(0)=2
Este é um EDO de primeira ordem, linear, cuja solução vamos encontrar pelo método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
y' + p(t),y = g(t),
aqui temos p(t)=-2 e g(t)=e^2t.

Passo 3

O fator integrante é
mu(t)=e^integral p(t),dt=e^integral(-2),dt=e^-2t
Multiplicando a equação original por mu(t) resulta em
e^-2ty' -2e^-2ty = 1,
cujo lado esquerdo é a derivada de e^-2ty:
ddtl(e^-2tyr)=1

Passo 4

Integramos ambos os lados em t:
e^-2ty = integral 1,dt = t + C,
logo a solução geral é
y(t)=e^2tl(t + Cr)

Passo 5

Aplicando a condição inicial y(0)=2:
y(0)=e^0(0+C)=C=2
Assim C=2 e a solução particular é
y(t)=e^2t(t+2)

Resposta

y(t)=e^2t(t+2)

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