Questão 1. Indique o tipo de indeterminação ( 0 / 0 ou infty / infty ) e utilize a Regra de L’Hôpital para calcular lim x +infty(x^4 e^-4 x^2).
(3.5 pontos)
Observação: Não se esqueça de usar a Regra da Cadeia para derívar exp (-4 x^2). Note que Dx[exp (u(x))]=exp (u(x)) cdot u^prime(x).

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto+inftyl(x^4e^-4x^2r)
usando a Regra de L’Hôpital e lembrando que, pela Regra da Cadeia,
Dxl[e^u(x)r]=e^u(x),u'(x)

Passo 2

Reescrevendo e^-4x^2=1/e^4x^2, temos
limxto+inftyx^4e^-4x^2 =limxto+inftyx^4e^4x^2
Quando xto+infty, o numerador to+infty e o denominador to+infty, é indeterminação do tipo infty/infty. Pode-se aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Primeira aplicação de L’Hôpital: derivamos numerador e denominador
ddxl(x^4r)=4x^3, ddxl(e^4x^2r) =e^4x^2cdot(8x)
Logo
limxto+inftyx^4e^4x^2 =limxto+infty4x^38x,e^4x^2 =limxto+inftyx^22,e^4x^2,
que ainda é infty/infty.

Passo 4

Segunda aplicação de L’Hôpital: diferenciando novamente
ddxl(x^2r)=2x, ddxl(2,e^4x^2r) =2,e^4x^2cdot(8x)=16x,e^4x^2
Fica
limxto+inftyx^22,e^4x^2 =limxto+infty2x16x,e^4x^2 =limxto+infty18,e^4x^2

Passo 5

No limite acima, e^4x^2to+infty quando xto+infty, logo
18,e^4x^2to 0

Resposta

0

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