Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e o maior intervalo no qual a solução é válida.
y^{\prime}(x)-2 x y(x)=1, y(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'(x) - 2x\,y(x) = 1,\quad y(0)=1,
que é uma equação diferencial linear de 1ª ordem. Para resolvê-la, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma padrão
y' + p(x)\,y = q(x),
onde aqui p(x) = -2x e q(x)=1. O fator integrante \mu(x) é dado por
\mu(x) = \exp\Bigl(\int p(x)\,\mathrm{d}x\Bigr) = \exp\Bigl(\int -2x\,\mathrm{d}x\Bigr) = e^{-x^2}.

Passo 3

Multiplicando a equação original por \mu(x)=e^{-x^2}, obtemos
e^{-x^2}y' - 2x\,e^{-x^2}y = e^{-x^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(y\,e^{-x^2}\bigr) = e^{-x^2}.
Agora integramos em x:
y(x)\,e^{-x^2} = \int e^{-x^2}\,\mathrm{d}x + C = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erf}(x) + C.

Passo 4

Isolando y(x), vem a solução geral
y(x) = e^{x^2}\Bigl(\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erf}(x) + C\Bigr).

Passo 5

Usamos a condição y(0)=1. Como \operatorname{erf}(0)=0 e e^{0}=1, temos
1 = y(0) = 1\cdot\bigl(\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot 0 + C\bigr) \;\Longrightarrow\; C = 1.

Passo 6

A função obtida é expressa em termos de exponencial e da função erro, ambas definidas para todo x\in\mathbb{R}. Logo, o maior intervalo de validade é (-\infty,\infty).

Resposta

y(x) = e^{x^2}\Bigl(\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erf}(x) + 1\Bigr), \quad x\in(-\infty,\infty).

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