Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e o maior intervalo no qual a solução é válida.
y^{\prime}(x)+\tan (x) y(x)=\operatorname{sen}(2 x), y(0)=-2.

Passo 1

Temos o problema de valor inicial
y'(x) + \tan(x)\,y(x) = \operatorname{sen}(2x),\quad y(0) = -2.
Este é um caso de equação diferencial linear de primeira ordem, do tipo
y' + p(x)\,y = q(x),
com p(x)=\tan(x) e q(x)=\operatorname{sen}(2x). Para resolver, usaremos o fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int \tan(x)\,dx\Bigr) = \exp\bigl(-\ln\lvert\cos(x)\rvert\bigr) = \operatorname{sec}(x).

Passo 3

Multiplicando a equação original por \mu(x)=\operatorname{sec}(x), obtemos
\operatorname{sec}(x)\,y' + \operatorname{sec}(x)\tan(x)\,y = \operatorname{sec}(x)\operatorname{sen}(2x).
O lado esquerdo é a derivada de \operatorname{sec}(x)\,y, pois (\operatorname{sec} x)' = \operatorname{sec} x\tan x. Logo,
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}(x)\,y\bigr) = \operatorname{sec}(x)\operatorname{sen}(2x).
Como \operatorname{sen}(2x)=2\operatorname{sen}(x)\cos(x), temos
\operatorname{sec}(x)\operatorname{sen}(2x) = \operatorname{sec}(x)\cdot 2\operatorname{sen}(x)\cos(x) = 2\operatorname{sen}(x).
Integramos em x:
\operatorname{sec}(x)\,y = \int 2\operatorname{sen}(x)\,dx = -2\cos(x) + C.
Portanto
y(x) = \cos(x)\bigl(-2\cos(x) + C\bigr) = -2\cos^2(x) + C\cos(x).

Passo 4

Impondo a condição inicial y(0)=-2 e sabendo que \cos(0)=1, temos
y(0) = -2\cdot1^2 + C\cdot1 = -2 + C = -2 \quad\Longrightarrow\quad C = 0.
Assim a solução particular é
y(x) = -2\cos^2(x).

Passo 5

O coeficiente \tan(x) é singular onde \cos(x)=0, isto é em x = \tfrac{\pi}{2} + k\pi. Como o ponto inicial é x=0, o maior intervalo de validade que não contém singularidades é
\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{\pi}{2}\bigr).

Resposta

A solução do problema é
y(x) = -2\cos^2(x),
válida para x\in\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{\pi}{2}\bigr).

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