Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial, utilizando série de potências:
(x^2+1) y^prime prime+2 x y^prime=0, y(0)=0, y^prime(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial
(x^2+1),y''+2x,y'=0
com as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1, usando série de potências centrada em x=0. Vamos expandir
y(x)=sumn=0^inftyanx^n,
calcular y' e y'' e determinar uma relação de recorrência para os coeficientes an.

Passo 2

Escrevendo as derivadas em série temos
y'(x)=sumn=1^inftyn,an,x^n-1, y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1),an,x^n-2
Substituindo em (x^2+1)y''+2x,y'=0
sumn=2^inftyn(n-1),an,x^n-2 ;+; sumn=2^inftyn(n-1),an,x^n ;+; 2sumn=1^inftyn,an,x^n =0

Passo 3

Reindexando o primeiro somatório via k=n-2 e combinando os dois que têm x^n, obtemos
sumk=0^infty(k+2)(k+1),ak+2,x^k ;+; sumk=0^inftyk(k+1),ak,x^k =0
Igualando coeficientes de x^k vem a relação de recorrência
(k+2)(k+1),ak+2+k(k+1),ak=0 Longrightarrow ak+2=-kk+2,ak

Passo 4

Das condições iniciais temos
y(0)=a0=0, y'(0)=a1=1
Para k par ( k=0,2,4,dots) a recorrência gera a2=0 e, por indução, todos os a2m=0. Para k ímpar gera
a3=-13a1=-13, a5=-35a3=15, ; ldots
De modo geral, para m>=0
a2m+1=(-1)^m,12m+1

Passo 5

Assim a solução em série fica
y(x)=summ=0^inftya2m+1,x^2m+1 =summ=0^infty(-1)^m,x^2m+12m+1
Reconhecemos esta série como a expansão de arctan x, logo
y(x)=arctan x

Resposta

y(x)=summ=0^infty(-1)^m,x^2m+12m+1 =arctan x

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