Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial, utilizando série de potências:
.
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação diferencial
com as condições iniciais
e
, usando série de potências centrada em
. Vamos expandir
calcular
e
e determinar uma relação de recorrência para os coeficientes
.
Passo 2
Escrevendo as derivadas em série temos
Substituindo em
dá
Passo 3
Reindexando o primeiro somatório via
e combinando os dois que têm
, obtemos
Igualando coeficientes de
vem a relação de recorrência
Passo 4
Das condições iniciais temos
Para
par (
) a recorrência gera
e, por indução, todos os
. Para
ímpar gera
De modo geral, para
Passo 5
Assim a solução em série fica
Reconhecemos esta série como a expansão de
, logo