Sabendo que j=raiz-1, demonstre a fórmula de Euler, a qual é dada por
e^j theta=cos (theta)+j sen(theta)

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a fórmula de Euler
e^jtheta = cos(theta) + j,sen(theta)
O conteúdo principal aqui é usar as séries de Taylor (Maclaurin) das funções exponencial, cosseno e seno. Vamos precisar das expansões:
e^x = sumn=0^infty x^nn!, cos(x) = sumk=0^infty (-1)^kx^2k(2k)!, sen(x) = sumk=0^infty (-1)^kx^2k+1(2k+1)!

Passo 2

Substituímos x = jtheta na série de e^x. Como j^n satisfaz
j^0=1,;j^1=j,;j^2=-1,;j^3=-j,;j^4=1,;dots
temos
e^jtheta = sumn=0^infty(jtheta)^nn! = sumn=0^inftyj^n,theta^nn!

Passo 3

Separamos a soma em termos pares n=2k e ímpares n=2k+1:
sumn=0^inftyj^ntheta^nn! = sumk=0^inftyj^2k,theta^2k(2k)! + sumk=0^inftyj^2k+1,theta^2k+1(2k+1)!

Passo 4

Usamos j^2k = (-1)^k e j^2k+1 = j,(-1)^k. Então
sumk=0^inftyj^2k,theta^2k(2k)! = sumk=0^infty(-1)^ktheta^2k(2k)! = cos(theta),
sumk=0^inftyj^2k+1,theta^2k+1(2k+1)! = jsumk=0^infty(-1)^ktheta^2k+1(2k+1)! = j,sen(theta)

Resposta

Combinando os dois resultados acima, obtemos
e^jtheta = cos(theta) + j,sen(theta),
que é exatamente a fórmula de Euler.

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