Sabendo que
, demonstre a fórmula de Euler, a qual é dada por
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a fórmula de Euler
O conteúdo principal aqui é usar as séries de Taylor (Maclaurin) das funções exponencial, cosseno e seno. Vamos precisar das expansões:
Passo 2
Substituímos
na série de
. Como
satisfaz
temos
Passo 3
Separamos a soma em termos pares
e ímpares
:
Passo 4
Usamos
e
. Então
Resposta
Combinando os dois resultados acima, obtemos
que é exatamente a fórmula de Euler.