O seguinte roteiro serve para mostrar que um polinômio de grau par sempre tem valor mínimd
(a) Vamos supor, sem perda de generalidade que o coeficiente dominante do polinômio é 1 (isso pode ser feito dividindo a equação pelo coeficiente de maior grau).
(b) Considere a função polinomial , onde é par, e seja .
(c) Mostre que, se , então vale:
Dica: Observe que se , então e daí cada potência na expressão do polinômio satisfaz:
(d) Para , vale:
(e) Se é tal que , mostre que vale:
(f) Aplique o Teorema de Weierstrass para a função no intervalo
Este exercício é opcional devido à sua dificuldade. É um resultado interessante que usa os teoremas vistos em sala de aula de modo menos direto.
Passo 1
O objetivo é mostrar que um polinômio de grau par sempre atinge valor mínimo global. Para isso consideramos, sem perda de generalidade, o polinômio monico de grau (com par)
Vamos usar argumentos de comparação assintótica para grandes e, em seguida, o Teorema de Weierstrass na parte central do eixo real.
Passo 2
Definimos
Por construção, e para cada temos
Passo 3
Suponha . Então e para cada
Somando essas n parcelas,
llvertan-1x+cdots+a0x^nrrvert < ncdot12n =12,
logo
1+an-1x+cdots+a0x^n >= 1-12 =12
Passo 4
Para lvert xrvert> M vale o resultado anterior e, portanto,
Então, se lvert xrvert>= b (portanto lvert xrvert> M), usando o passo anterior,
f(x)>= lvert xrvert^n2>= b^n2>= f(0)
Isto mostra que, para lvert xrvert>= b, o valor de f(x) nunca cai abaixo de f(0).
Passo 6
No intervalo fechado [-b,b], a função f é contínua, então pelo Teorema de Weierstrass ela atinge um mínimo m nesse intervalo. Fora desse intervalo, isto é, para lvert xrvert>= b, acabamos de ver que f(x)>= f(0)>= m. Logo, esse m é o mínimo global de f em R.
Resposta
O polinômio f de grau par tem valor mínimo global, obtido em algum xin[-b,b].