1. O seguinte roteiro serve para mostrar que um polinômio de grau par sempre tem valor mínimd
    (a) Vamos supor, sem perda de generalidade que o coeficiente dominante do polinômio é 1 (isso pode ser feito dividindo a equação p(X)=0 pelo coeficiente de maior grau).
    (b) Considere a função polinomial f(x)=a0+a1 x+a2 x^2+cdots+an-1 x^n-1+x^n, onde n é par, e seja M=max (1,2 n|an-1|, 2 n|an-2|, ldots, 2 n|a0|).
    (c) Mostre que, se |x|>M, então vale:
12 <= 1+an-1x+cdots+a0x^n
Dica: Observe que se |x|>M, então |x|>1 e daí cada potência na expressão do polinômio satisfaz:
|an-k||x|^k<|an-k||x|<|an-k|2|an-k|
(d) Para |x|^n >= M, vale:
x^n2 <= x^n(1+an-1x+cdots+a0x^n)=f(x)
(e) Se b>M é tal que b^n >= 2 f(0), mostre que vale:
|x| >= b Longrightarrow f(x) >= f(0)
(f) Aplique o Teorema de Weierstrass para a função ^1 no intervalo f

  1. [-b, b] Este exercício é opcional devido à sua dificuldade. É um resultado interessante que usa os teoremas vistos em sala de aula de modo menos direto.

Passo 1

O objetivo é mostrar que um polinômio de grau par sempre atinge valor mínimo global. Para isso consideramos, sem perda de generalidade, o polinômio monico de grau n (com n par)
f(x)=a0+a1x+cdots+an-1x^n-1+x^n
Vamos usar argumentos de comparação assintótica para grandes lvert xrvert e, em seguida, o Teorema de Weierstrass na parte central do eixo real.

Passo 2

Definimos
M=maxl(1,2nlvert an-1rvert,2nlvert an-2rvert,dots,2nlvert a0rvertr)
Por construção, M>=1 e para cada k=1,2,dots,n temos
M>= 2nlvert an-krvert Longrightarrow lvert an-krvert<= M2n

Passo 3

Suponha lvert xrvert> M. Então lvert xrvert>1 e para cada k>=1
gllvertan-kx^kgrrvert =lvert an-krvertlvert xrvert^k <=lvert an-krvertlvert xrvert <M/(2n)M =12n
Somando essas n parcelas,
llvertan-1x+cdots+a0x^nrrvert < ncdot12n =12,
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1+an-1x+cdots+a0x^n >= 1-12 =12

Passo 4

Para lvert xrvert> M vale o resultado anterior e, portanto,
f(x) =x^nl(1+an-1x+cdots+a0x^nr) >= x^ncdot12 =x^n2

Passo 5

Escolha b>M de modo que
b^n>= 2,f(0)
Então, se lvert xrvert>= b (portanto lvert xrvert> M), usando o passo anterior,
f(x)>= lvert xrvert^n2>= b^n2>= f(0)
Isto mostra que, para lvert xrvert>= b, o valor de f(x) nunca cai abaixo de f(0).

Passo 6

No intervalo fechado [-b,b], a função f é contínua, então pelo Teorema de Weierstrass ela atinge um mínimo m nesse intervalo. Fora desse intervalo, isto é, para lvert xrvert>= b, acabamos de ver que f(x)>= f(0)>= m. Logo, esse m é o mínimo global de f em R.

Resposta

O polinômio f de grau par tem valor mínimo global, obtido em algum xin[-b,b].

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