Sabendo que cos x=2425 e 0, calcule sen x4, cos x4 e tg x4.

Passo 1

O enunciado diz que cos x = tfrac2425 com 0 < x < tfracpi2, e pede sintfracx4, costfracx4 e tantfracx4. Vamos usar identidade pitagórica para achar sin x e depois as fórmulas de semi-ângulo (metade) duas vezes para chegar a x/4.

Passo 2

Primeiro, pela identidade pitagórica sabemos que sin^2 x + cos^2 x = 1. Então
sin x = raiz1 - cos^2 x = raiz1 - l(tfrac2425r)^2 = raiz1 - tfrac576625 = raiztfrac49625 = tfrac725

Passo 3

Agora vamos achar costfracx2 e sintfracx2 usando as fórmulas de semi-ângulo:
costfracx2 = +raiz1 + cos x2 = raiz1 + tfrac24252 = raiztfrac49252 = raiztfrac4950 = 7raiz210,
sintfracx2 = +raiz1 - cos x2 = raiz1 - tfrac24252 = raiztfrac1252 = raiztfrac150 = raiz210

Passo 4

Repare que escolhemos sinal positivo porque x/2 está em l(0,tfracpi4r).
Agora aplicamos de novo a fórmula de semi-ângulo para obter sintfracx4 e costfracx4. Primeiro
sintfracx4 = +raiz1 - costfracx22 = raiz1 - tfrac7raiz2102 = raiz10 - 7raiz220

Passo 5

Em seguida
costfracx4 = +raiz1 + costfracx22 = raiz1 + tfrac7raiz2102 = raiz10 + 7raiz220

Passo 6

Finalmente, a tangente é o quociente:
tantfracx4 = sintfracx4costfracx4 = raiz1 - costfracx21 + costfracx2 = raiz10 - 7raiz210 + 7raiz2

Resposta

sintfracx4 = raiztfrac10 - 7raiz220, costfracx4 = raiztfrac10 + 7raiz220, tantfracx4 = raiztfrac10 - 7raiz210 + 7raiz2

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